数列问题中蕴含的数学思想

林嘉慧

【摘要】数学思想方法是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁.能否有意识地正确运用数学思想方法解答数学问题，是衡量数学素质和数学能力的重要标志.数列中蕴涵了许多重要的数学思想，在考查数列知识过程中数学思想方法一定会渗透其中，考查思想方法必然要与数学基础知识结合，在数列教学中注重数学思想方法的挖掘与渗透具有十分重要的意义.

【关键词】数列问题；函数

数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用.因此，深刻体会其蕴含的数学思想和方法，理解用函数思想解决数列问题的本质，往往能诱发知识的迁移，使学生举一反三、融会贯通地解决多种数列问题.下面我通过一节高三数学复习课谈谈自己的教学体会.

课前导语：在我们的课堂中有一个简单的词叫渗透，在高考中有一个时尚的词叫可测，这节课我们一起来挖掘这个既可测又可渗透的数列问题中蕴含的数学思想.

【活动一】挖掘数列问题中的函数思想.

1.提出问题1： 等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=25，S9=S17，问数列的多少项和最大？

2.请同学们回忆，数列有什么特性？

3.你想到了什么解决方法？它的理论依据是什么？（让两名学生分别对问题1加以分析）

4.了解学生的理解深度.引导学生利用函数思想寻找解题方法.

【设计意图】引导学生通过自主研究，明确数列是一个定义在N*或它的子集{1，2，3，…，n}上的特殊函数，在解决数列问题时，能善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题.

【活动二】挖掘数列问题中的数形结合思想.

1.提出问题2： 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若Sp=Sq（p≠q），则Sp+q=.

2. 等差数列{an}的前n项和Sn的表示形式有什么特征？

3.表示等差数列{an}的前n项和Sn的点在什么样的图像上？

【设计意图】让学生感受借助数列所对应函数的图像解答某些问题，会十分地直观、快捷.如：解答等差数列前n项和的最值问题，我们可结合二次函数的图像.

活动三：挖掘数列问题中的方程思想.

1.提出问题3： 设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}前n项和为Sn，满足S5S6+15=0.（1）若S5=5，求S6及a1.（2）求d的取值范围.

2. S6及a1满足什么样的关系，如何求解？

3. d的取值范围如何入手，想到解题方案了吗？

【设计意图】进一步认识等差（比）数列一般涉及五个基本量：a1，d（或q），n，an，Sn. “知三求二”是等差（比）数列中的基本问题，可运用方程思想，通过解方程（组）求解.

【活动四】挖掘数列问题中的整体思想.

1.提出问题4： 已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前n项的和为286，求项数.

2.等差、等比数列的通项公式与前n项和公式有什么性质？

3.解题过程中需要知道a1与an的值吗？

【设计意图】引导学生仔细观察、分析、发现，从整体着眼，通过问题的整体形式、整体结构或其他整体处理后，可达到简捷地解题的目的，让学生体会整体思想是从问题的整体结构出发，实施整体变形、整体运算的思想.整体思想的灵活运用，通常是将问题从多元向一元简化，使问题的解决方式变得明朗、简捷.

【活动五】挖掘数列问题中的分类讨论思想.

1.提出问题5： 求和Sn=a+1b+a2+1b2+a3+1b3+……+an+1bn.

2.请学生甲上台解题板书.（暴露其思维过程）

3.请学生乙评价甲的解题过程，指出其存在问题.

4.引导学生归纳解题步骤.

【设计意图】教师可以通过学生的讨论进行纠错，纠察学生在解题时产生的知识点错误，从而暴露其中存在的误区和理解深度.体会到分类讨论思想的作用.同时注意利用学生错误这一重要的资源，不断地引导学生进行解题后的反思，使学生完成自我意识、自我评价、自我调整的过程，让学生更容易找到易错点和易混点，从而更清晰、准确地掌握知识.

【活动六】挖掘数列问题中的转化与化归思想.

1.提出问题6： 已知数列{an}满足an+1=2an+1，且a1=1.

（1）求数列{an}的通项公式. （2）求数列{an}的前n项和Sn.

2.数列{an}是特别数列吗？

3.数列{an}既非等差又非等比，我们可以进行怎样的转化，才可以求其通项？

【设计意图】我们在处理数学问题时，常常将待解决的问题通过转化，化归成一类我们比较熟悉的问题来解决.

【活动七】挖掘数列问题中的归纳、猜想与证明思想.

1.提出问题7： 问题6中还有别的解决方法吗？

2.对于一个与自然数有关的命题，当你无从下手时，可以怎么处理？

3.引导学生通过对个别、特殊情况的分析、观察，发现规律，归纳出一般的结论或性质，再寻求证明方法.

【设计意图】归纳、猜想、证明是解决数列中探索性问题的一种重要方法，它是培养创造性思维的好素材.本训练让学生在已有探索经验的基础上，借助多媒体的形象直观，共同完成问题的抽象过程.体现研究问题常用的“由特殊到一般”的思维方式.

【结束语】在解决数列问题中，数学思想方法的运用比比皆是，但离开了扎实的知识基础，熟练的基本技能，数学思想方法的运用也就成了空中楼阁.需要同学们养成良好的应用数学思想解题的思维习惯.