用活教材，体验生成

董洪国

【摘要】本文结合人民教育出版社高中数学必修2（B版）2.2.2节“点到直线的距离”一节的课例习题教学设计阐述了教师在教学活动中，站在学科总体目标的高度，结合学情提炼与梳理教材，活用教材，用活教材，才能找到最适合学生学习的学习方法和学习过程，才能更好地提升了自己运用教材的能力.

【关键词】点到直线的距离；教学设计

笔者在教学实践中根据对教材和学生的分析，在维果茨基的“最近发展区”理论指导下将教材例题、习题进行必要改编或补充，提高教学效率的同时以便学生更好地自主构建新知.

一、教材分析

作为“直线的方程”的最后一节内容的“点到直线的距离”，是学生在学习了直线相关知识的基础上，实现由平面几何的几何度量关系过渡到解析几何的代数计算的完整范例，为后面学习直线与圆的位置关系和圆锥曲线奠定了基础.通过点到直线的距离公式的探究与应用过程，让学生进一步体会用代数方法解决几何问题的思想.

二、学情分析

知识基础：学生已经掌握了两点之间的距离公式，直线的倾斜角、斜率、直线方程和两直线的位置关系等相关知识.能力基础：学生对利用代数方法研究几何问题有了初步的认识和体验，但对代数式的化简能力和抽象思维能力需要进一步培养.

三、教学目标

知识与技能目标：掌握点到直线的距离公式及其简单应用；会求两平行线间的距离. 过程与方法目标：通过体验公式的推导过程，使学生体会由特殊到一般、从具体到抽象的数学探究方法，渗透数形结合、转化化归等思想，提高用代数方法解决几何问题的能力.情感、态度与价值观目标：通过小组合作探究解决问题的过程，培养学生探索精神，提高合作意识.重点：点到直线的距离公式及其简单应用.难点：点到直线的距离公式的推导.

四、教法学法

教学方法：学生是知识意义主动的建构者，“只有针对最近发展区的教学，才能促进学生的发展”，为了帮助学生完成自主构建新知，结合本节课的知识结构特点，采用问题探究式教学法.学习方法：利用导学案自主探究的基础上合作交流.

五、课例习题设计

本节课教材直接给出了求点P（x1，y1）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离公式的一种推导方法，并且运算化简技巧较强，学生理解和接受难度较大，不利于学生发散思维能力的培养.为了分散难点，提高学生参与的广度和深度，通过调整引例充实内容，将公式的推导过程分三个层次完成：

第一层次 特例引路，启发思维.在回顾初中“点到直线的距离”定义中的垂线段的长后教师提出以下问题：

问题1：求点P（1，2）到直线l：x-2y+2=0的距离.学生独立思考后小组讨论，

代表展示、讲解解决问题的方法和步骤.（学生可能利用直线关系转化为两点距离或

者利用构造三角形、构造目标函数等方法，教师点评）

【设计意图】教材直接呈现求点P（x1，y1）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离，对学生的抽象思维能力和对代数式的运算能力要求较高.问题1是具体化的问题，起到了“垫脚石”的作用.可以实现以下目的：（1）使学生体会数形结合、转化等数学思想方法，培养学生发散思维能力；（2）为公式的推导做了铺垫，完成对教学难点的初步突破；（3）给学生探索的时间和空间来体验数学再发现的过程，提高合作意识.

第二层次 顺藤摸瓜，推导公式.问题2：求点P（x1，y1）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离.学生分小组合作进行公式推导.因为有问题1的引路，会有多数学生选择求垂足坐标的方法，但在有限的时间里多数学生并不能得到最后结果，因此教师屏幕展示这种方法的推导过程.

（1）结合|PP0|=（x1-x0）2+（y1-y0）2的结构特点，是否有简化运算的方法？

（2）可以不求垂足P0的坐标吗？

教师引导学生分析目标式和已知式的特点，提出整体代换的思想.即可将x1-x0和y1-y0分别视为一个整体.构造关于x1-x0和y1-y0的两个方程式：

然后让学生完成后续推导过程，体会一下设而不求，整体代换的方法在简化运算中的作用.

【设计意图】让学生体会公式的推导过程、培养学生的运算能力的同时培养学生灵活分析、锲而不舍的钻研精神.

第三层次 分析公式，加深认识.对于点到直线的距离公式d=Ax1+By1+CA2+B2.

思考问题：（1）此公式对应的直线方程是什么形式？（2）公式结构特点是什么？（3）点P在直线l上时成立吗？

【设计意图】通过学生思考回答，使学生理解公式适用的范围，把握公式的形式特点.

以上三个层次的探究过程，符合学生的认知发展规律，逐步突破了教学难点.为了逐步完成教学目标，在公式的应用环节，设计了公式的直接应用和灵活应用两个层次的题目，对教材例题进行了巧妙的改编，并补充了相应的巩固练习.

例1 求点P（1，-1）到直线l：x-2y+2=0的距离.

巩固练习 1.求点P（-1，2）到以下直线的距离.

（1）l：2x+y=5；（2）l：y=2x+1；（3）l：x=-2.

2.点P（4，m）到直线3x-4y-1=0的距离为3，求m的值.

3.在x轴上求与直线3x+4y-5=0的距离等于5的点的坐标.

为了让学生熟悉公式的使用，例题是公式推导环节中的引例，学生直接套用公式求解，体验应用公式解题时的简捷性，并以此规范解题步骤，然后引导学生总结求点到直线距离的计算步骤，渗透算法思想.

巩固练习题组1是教材习题的改编.需要先化为直线方程的一般式，再套用公式，第（3）题也可数形结合解决.此题组由学生独立完成后回答交流.巩固练习2、3是逆用公式的题目，公式中有点的坐标、直线方程的系数及距离等6个量，可知五求一.小组合作后展示解题过程，教师点拨评价.

【设计意图】通过此阶段的例题和练习，使学生掌握公式结构及使用公式应注意的问题，熟练运用公式.

例2 探究两平行直线 l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0（C1≠C2）之间的距离公式，并给出证明.

巩固练习 1.求两直线l1：2x+y+1=0，l2：2x+y-3=0的距离.

2.求两直线l1：2x+y+1=0，l2：4x+2y-6=0的距离.

首先，在小组合作探究后学生黑板板演，其余学生在导学案上完成.引导学生分析两平行线间的距离公式的特点，然后进行巩固练习.

【设计意图】将教材中的例题2将平行线间的距离转化为点到直线的距离，既是对点到直线距离的灵活运用，又让学生充分体验数学中的类比、转化的思想.巩固练习1让学生直接套用公式，而第2题必须注意应用公式时应先化简，有梯度的让学生构建出新知的正确使用过程.

六、设计特色

1.本节课的设计在尊重教材的基础上又创造性地使用教材，在“最近发展区”理论指导下通过由特殊到一般，具体到抽象的探究问题的过程使学生在充分的体验和感悟中经历了公式的形成及巩固过程，感受到了多种数学思想方法的应用.

2.通过体验公式的推导过程，使学生在探究新知的“勇于探索，锲而不舍的”钻研过程中培养学生的运算能力和发散思维的能力.

教师要做到“活用教材，用活教材”就必须在教学设计中，不仅重视结论，而且重视学生对生成结论的过程的体验，要着眼于学生的数学素养和数学能力的提高来采用最适合学生学习的学习方法和学习过程，这样才会在促进学生的长远发展的同时更好地提升了自己运用教材的能力.