压缩相干态Wigner函数的研究

王震，李恒梅，万志龙

(常州工学院数理与化工学院，江苏常州213032)

压缩相干态Wigner函数的研究

王震，李恒梅，万志龙

(常州工学院数理与化工学院，江苏常州213032)

借助于由有序算符内的积分技术与Weyl编序下相似变换不变性以及 Weyl-Wigner量子化方案导出的密度算符，解析推导出了Yuen压缩相干态和Stoler压缩相干态相对应的Wigner函数。通过解析推导以及数值对比可以发现，这两类压缩相干态Wigner函数存在差异，这种差异为进一步理解两种压缩相干态的特性提供了新的视角。

正规乘积;压缩相干态;Wigner函数

1 概述

量子压缩是量子力学和量子光学的重要研究方向[1-3]。压缩态是泛指一个正交相位振幅算符的起伏比相干态相应分量的起伏小的量子态，其代价是另一个正交相位振幅算符的起伏增大，但两者的乘积等同于相干态的相应量。压缩态由于在光通讯、高精度干涉测量以及微弱信号检测方面有着广泛的应用前景而成为量子力学和量子光学领域的研究热点。相干态作为量子力学中的一个核心概念，是激光理论的重要支柱。相干态的概念最初是奥地利物理学家Schr dinger在1926年提出，对于谐振子位势，他找到了这样的状态。20世纪60年代初，美国物理学家Klauder从量子力学的数理基础出发，建立了正则相干态[4]。1963年，哈佛大学Glauber教授系统地建立起光子相干态理论，研究其相干性与非经典性，证明了相干态是谐振子湮灭算符的本征态[5-6]。理论上，产生压缩相干态有对真空态先平移后压缩(Yuen压缩相干态)[7]和先压缩后平移(Stoler压缩相干态)[8]两种方式，考虑到压缩算符与平移算符不对易，且文献资料对这两种压缩态的区别阐述得比较模糊，因此在前期研究中已导出两类压缩相干态的密度算符解析表达式，并做了比较[9]。鉴于Wigner函数包含了一个量子态的全部信息，因此有必要推导出这两类压缩相干态的Wigner函数解析表达式，并做进一步的数值分析，以清晰直观地观察二者的异同。

2 Yuen压缩相干态的Wigner函数

Yuen压缩相干态是对真空态进行先平移后压缩操作，即：

(1)

(2)

::表示正规乘积符号。进一步利用压缩变换，可以得出Yuen压缩相干态的正规乘积形式的密度算符[9]为

(3)

Wigner函数在相干态表象中的一般表达式[12]为

(4)

结合式(3)和(4)，可得Yuen压缩相干态的Wigner函数表达式为

3 Stoler压缩相干态的Wigner函数

Stoler压缩相干态是对真空态进行先压缩后平移操作，即

(6)

正规乘积形式的压缩算符S(r)表达式[13]为

(7)

结合平移算符，可得出Stoler压缩相干态正规乘积形式的密度算符[9]为

(8)

同样，利用式(4)和(8)，可得Stoler压缩相干态的Wigner函数解析表达式为

(9)

结合式(5)和(9)，给出了两类压缩相干态Wigner函数在相空间中的分布情况，如图1、图2所示。

图1Wigner函数分布:Yuen压缩相干态Wr,α(Re β,0)和Stoler压缩相干态Wα,r(Re β,0)

图2Wigner函数分布：Yuen压缩相干态Wr,α(0,Im β)和Stoler压缩相干态Wα,r(0,Im β)

通过对比图1中两条曲线可以看出，在其他参数相同的情况下，两类压缩相干态的Wigner函数均无负值，二者的零值分布区域基本相同，但是Yuen压缩相干态Wr,α(Re β,0)的峰值较Stoler压缩相干态Wα,r(Re β,0)大得多。

同样，通过对比图2中两条曲线可以看出，在其他参数相同的情况下，两类压缩相干态的Wigner函数亦均无负值，但是二者的零值分布区域以及峰值大小不同，并且峰值的分布区域也存在较大差异。

4 结论

本文利用基于有序算符内的积分技术、Weyl编序下相似变换不变性以及正规乘积形式的压缩算符导出的密度算符，分别解析、推导出了Yuen和Stoler压缩相干态的Wigner函数。通过对比Wigner函数相空间分布可以发现，在其他控制参数均相同的条件下，Yuen压缩相干态和Stoler压缩相干态的Wigner函数的峰值大小和峰值分布位置均存在一定差异，因此这两类压缩相干态并不等同，该工作为进一步证明二者不完全等同提供了直接的证据。该工作的开展丰富了量子光学与量子信息学的研究，为实验工作者提供了有力的理论参考。

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责任编辑：杨子立

Wigner Function of Squeezed Coherent States

WANG Zhen,LI Hengmei,WAN Zhilong

(School of Sciences and Chemical Engineering,Changzhou Institute of Technology,Changzhou 213032)

Wigner functions corresponding to the Yuen and Stoler squeezed coherent states are obtained respectively by virtue of the density operator derived by the technique of integration within an ordered product of operators,the invariance in similarity transformation,and the Weyl-Wigner quantization scheme.By an analytical derivation and a numerical comparison,it can be found that there exists significant difference in the two types of Wigner functions,and it provides a new perspective to a deeper understanding of the characteristics of the two kinds of squeezed coherent states.

normal ordering;squeezed coherent states;Wigner function

10．3969/j．issn．1671-0436．2016．05．011

2016- 09- 18

江苏省教育厅高校自然科学研究面上项目(14KJD140001；16KJB140001)；常州工学院科研基金项目 (YN1310)

王震(1982— )，男，博士，讲师。

O431.2

A

1671- 0436(2016)05- 0050- 03