高冲击下微悬臂梁动态响应特性

尹立威，聂伟荣，席占稳，周织建

(南京理工大学机械工程学院，江苏 南京 210094)

高冲击下微悬臂梁动态响应特性

尹立威，聂伟荣，席占稳，周织建

(南京理工大学机械工程学院，江苏 南京 210094)

针对高冲击下微构件动态响应特性的经典理论值与实验结果存在较大误差的问题，提出了高冲击下微悬臂梁尺寸效应模型并分析了其动态响应特性。该方法可描述微悬臂梁的弯曲特性、固有特性、动态响应特性的尺寸效应现象。实例分析表明，当微悬臂梁特征尺寸和内禀特征尺寸处于同一量级时，高冲击下微悬臂梁的弯曲挠度、固有频率、动态位移响应均表现出明显的尺寸效应现象，合理地解释了实验结果与经典理论值存在误差较大的问题。

高冲击；微悬臂梁；动态响应；尺寸效应；应变梯度理论

0 引言

微机电系统(Micro-Electro-Mechanical Systems，MEMS)器件凭借其微型化、集成化、智能化、低成本、高性能、可批量生产等优点在仪器测量、汽车电子、航空航天、国防事业、生物医学和环保等人们所接触到的几乎所有领域都有着巨大的应用前景[1-2]。这些MEMS器件中的微构件根据形状尺寸和受力特点，可以简化为微梁、微板等力学模型。当MEMS器件的几何尺寸在微米甚至纳米量级时，微结构的力学及其他性能将与宏观尺寸下的性能有着很大的差别，表现出微观效应[3]。MEMS器件尺寸的微型化将呈现出力学性能的尺寸效应，但经典的弹塑性理论的本构关系中不包含任何与材料尺寸相关的参数，无法预测微结构的尺寸效应现象。Mindlin等人提出的应变梯度理论[4-5]，通过应变能密度函数在传统的本构关系中引入材料的内禀特征尺寸参数来考虑应变梯度的影响，为解释和描述MEMS器件的尺寸效应现象提供了较为精确的理论依据。多年以来，应变梯度理论经过了不断地完善，根据位移二阶梯度分量的不同，分为全应变梯度理论和偶应力理论。Lam[6]等人基于Mindlin的应变梯度理论提出了一种全应变梯度弹性理论。在该理论体系中，除了传统的力和力矩平衡的平衡条件以外，还引入了一个约束高阶应力的约束条件。在本构方程中，除了传统的弹性模量E和泊松比υ两个常数以外，还引入了3个相互独立的材料内禀特征尺寸参数：l1、l2和l3，分别对应微构件的膨胀梯度张量、拉伸梯度张量的偏张量和旋转梯度张量的对称张量。当l1=l2=0时，全应变梯度弹性理论就退化为偶应力理论，当l1=l2=l3=0时，该理论就退化为经典的弹性理论。

文献[7]应用偶应力理论和全应变梯度理论分析了伯努力-欧拉梁动态固有频率的尺寸效应。文献[8]基于全应变梯度理论分析了铁木辛柯梁静动态特性的尺寸效应。文献[9-10]则将C1自然单元法应用于应变梯度理论，构建了应变梯度理论C1自然单元法，采用数值方法分析了双材料边界层效应问题。目前，国内外对微构件尺寸效应的研究，主要是受集中载荷和均布载荷条件下的静态尺寸效应现象。本文以引信用MEMS惯性开关微结构中常见的微悬臂梁为研究对象，针对高冲击下微构件动态响应特性的经典理论计算值与实验结果误差较大的问题[6]，基于全应变梯度弹性理论提出了高冲击下微悬臂梁尺寸效应模型并分析了其动态响应特性。

1 全应变梯度弹性理论

对于各向同性线弹性变形材料的微梁，总应变能U可以表示为：

(1)

(2)

γi=εmm,i

(3)

δki(εmm,j+2εmi,m)]

(4)

(5)

式中，ui,j和uj,i为结构的位移矢量；eijk为置换张量。

根据功的共轭原理，与上述应变分量对应的应力分量分别为：

(6)

(7)

(8)

(9)

式中， G为剪切模量，弹性模量E、泊松比υ和剪切模量G三者的关系为:

(10)

2 微悬臂梁尺寸效应模型

以图1微梁为研究对象，建立笛卡尔局部坐标系，原点o位于最左端，xz平面为微梁的纵向对称面，xy平面经过微梁的中性层，yz平面平行于梁横截面。微梁横向受均布载荷q(t) ，t是时间变量，总长度为L，宽度为B，厚度为H。

图1 微梁示意图Fig.1 Schematic diagram of micro beam

在实际工程应用中，有些短而厚的梁必须考虑其截面内的剪切变形，为了计算的准确性，采用铁木辛柯梁模型来描述，其位移场表示为：

(11)

u2(x,y,z,t)=0

(12)

u3(x,y,z,t)=w(x,t)

(13)

根据哈密尔顿变分原理，可以推导出伯努力-欧拉梁的控制方程：

(14)

对于微梁的弯曲振动，基本的边界条件有以下三种：

1)固定端

该处挠度和转角都为零，即

(15)

2)简支端

该处挠度与弯矩都为零，即

(16)

3)自由端

自由端的弯矩与剪力都为零，即

(17)

将微梁最左端固定则得到微悬臂梁模型，如图2所示。

图2 微悬臂梁示意图Fig.2 Schematic diagram of micro cantilever beam

所有冲击均布载荷可表示为：

q(t)=ρAa(t)

(18)

式中，a(t)为输入冲击加速度载荷，单位为g(g=9.8 m/s2，为重力加速度)。

当a(t)表示阶跃载荷时可表示为：

(19)

此时，根据式(14)可知，与时间有关的项将被忽略，基于全应变梯度弹性理论微悬臂梁动力学模型为：

(20)

上述方程的通解为：

(21)

式中，Ci(i=1,2,…,6)由边界条件式(15)和式(17)求出：

(22)

通过该尺寸效应模型，不仅可以描述高冲击下微悬臂梁长L上的弯曲挠度、固有频率、位移响应的尺寸效应现象，还可以描述微构件材料弹性模型的尺寸效应现象。

当l1=l2=0时，全应变梯度弹性理论就退化为偶应力理论，当l1=l2=l3=0时，该理论就退化为经典的弹性理论。由此可以对比分析三种理论下微悬臂梁动态响应特性，直观地描述了高冲击微构件动态响应特性与宏观尺寸下的区别。

3 微悬臂梁动态特性实例分析

3.1 微悬臂梁弯曲特性

结合Matlab软件对微悬臂梁弯曲振动特性进行实例分析。以文献[11]中采用UV-LIGA工艺加工的电铸镍MEMS惯性开关结构尺寸为参考依据，易知块体镍E=207 GPa，υ=0.312，ρ=8 900 kg/m3， 以ai0=15 000 g为典型阶跃载荷进行分析。Stolken等人[12]通过实验已经测出镍的内禀特征尺寸参数l=5～5.5 μm，为便于分析比较，假定l1=l2=l3=5 μm。根据表1中的数据对微悬臂梁进行数值模拟，用B对L进行无量纲化处理，得到微悬臂梁无量纲长度-挠度曲线，如图3所示。

表1 四组MEMS微悬臂梁的几何尺寸Tab.1 Four groups of MEMS geometry size of micro cantilever

图3 微悬臂梁归一化挠度曲线Fig.3 Normalized deflection curve of micro cantilever beam

从图3可以看出，当微悬臂梁的宽度B和内禀特征尺寸参数l相等时，基于全应变梯度弹性理论的微悬臂梁在自由端L处的弯曲挠度减小为传统理论的1/17倍左右，而基于偶应力理论微悬臂梁自由端L处的弯曲挠度减小为传统理论的1/10倍左右，均表现出明显的尺寸效应现象。基于全应变梯度弹性理论的弯曲挠度是基于偶应力理论的弯曲挠度值的10/17，这是由于在惯性环境下全应变梯度弹性理论在偶应力理论的基础上还考虑了拉伸梯度张量的偏斜部分和膨胀梯度张量的影响，微悬臂梁的刚度表现出更强烈的尺寸效应现象，导致弯曲挠度急剧减小。

当B远大于l时，基于全应变梯度弹性理论和偶应力理论下的弯曲挠度与传统理论下得到的弯曲挠度值一致。

3.2 微悬臂梁的固有特性

基于全应变梯度弹性理论微悬臂梁无阻尼自由运动的控制方程为：

(23)

采用分离变量法，假设

w(x,t)=Φ(x)T(t)=Φ(x)sin(ωnt+φ)

(24)

式中，Φ(x)为振型函数，T(t)为时间函数且T(t)=sin(ωnt+φ)。

将式(24)代入式(23)化简得

(25)

(26)

根据边界条件式(15)和式(17)解方程(25)得到基于偶应力理论微悬臂梁的频率方程[13]为:

cos(θL)ch(θL)=-1

(27)

即微悬臂梁弯振动的特征根方程。它的前4阶特征根由数值方法求解，值如表2所示。

表2 微悬臂梁特征根Tab.2 Micro cantilever beam characteristic root

表2中，n为整数，当n≥4时，各根可以准确地表示为:

(28)

微悬臂梁的振型函数可表示为:

Φ(x)=ch(θx)-cos(θx)+r[sh(θx)-sin(θx)]

(29)

矩形截面微悬臂梁的无量纲固有圆频率为:

(30)

根据式(30)得到图4，从图中可以看出，随着微悬臂梁特征尺寸逐渐减小到B=l时，基于全应变梯度弹性理论得到的微悬臂梁的固有圆频率是传统理论的4.14倍，基于偶应力理论得到的微悬臂梁的固有圆频率是传统理论的2.36倍，均表现出强烈的尺寸效应，当尺寸较大时，三种理论计算结果一致，尺寸效应现象逐渐消失。

图4 微悬臂梁无量纲固有圆频率尺寸效应Fig.4 Size effect on the natural frequencies of micro cantilever beam

由式(26)可得材料弹性模量计算式为:

(31)

由式(31)得到图5，从图中可以看出，随着微悬臂梁特征尺寸逐渐减小到B=l时，基于全应变梯度弹性理论得到的镍材料的弹性模量是块体镍的6.43%，基于偶应力理论得到的镍材料的弹性模量是块体镍的17.9%，均表现出强烈的尺寸效应，当尺寸较大时，两种理论计算结果与块体镍的值大致一致，尺寸效应现象逐渐消失，这个结果也可以对毛胜平等人[14]实验测量电铸镍材料的弹性模量值给出了比较合理的理论解释，其中测量结果如表3所示。

图5 尺寸效应对材料弹性模量的影响Fig.5 The influence of size effect on the material elastic modulus

长/μm宽/μm厚/μm弹性模量/GPa抗拉强度/MPa2100030002501237544700020030849161281005059331810

3.3 微悬臂梁动态响应特性

通过对引信环境的分析，MEMS惯性开关结构通常受到高幅值小脉宽和低幅值大脉宽两种冲击载荷。根据实验模拟出冲击载荷为常见的半正弦脉冲扰动，通常表示为:

(32)

以受到的最大勤务跌落惯性载荷(峰值a(ti1)=15 000 g，脉宽ti1=0.3 ms)、最小的正常发射惯性载荷(峰值a(ti2)=3 000 g，脉宽ti2=3 ms)作为典型冲击载荷，采用表1中的第1组数据进行数值计算。基于全应变梯度弹性理论，端点L处微悬臂梁在两种冲击载荷下的位移响应为:

(33)

根据上述分析计算得到三种理论模型下微悬臂梁的动态位移响应如图6所示。

由图6(a)知，基于全应变梯度弹性理论得到的微悬臂梁的最大位移响应是传统理论的5.63%，基于偶应力理论得到的微悬臂梁的最大位移响应是传统理论的30.35%，均表现出强烈的尺寸效应。由图6(b)知，基于全应变梯度弹性理论得到的微悬臂梁的最大位移响应是传统理论的5.83%，基于偶应力理论得到的微悬臂梁的最大位移响应是传统理论的17.72%，均表现出强烈的尺寸效应。

图6 两种载荷下位移响应曲线Fig.6 Displacement response under two kinds of load curves

从式(33)可以知道，影响微悬臂梁动态响应位移的主要因素有固有频率ωn、输入冲击载荷频率ωi以及幅值ai。当冲击载荷幅值脉宽确定以后，对微悬臂梁动态响应位移影响的主要因素就是微悬臂梁的固有频率。从图4中可以知道，当尺寸较大时，三种理论计算固有频率ωn结果基本一致，尺寸效应现象逐渐消失。

基于全应变梯度理论下计算出的高冲击下微悬臂梁动态响应比传统理论更符合实验结果。因此，在对引信用MEMS惯性开关中的结构设计中应该充分考虑尺寸效应现象。当微悬臂梁的特征尺寸和内禀特征尺寸相当时，应该在原有尺寸的基础上适当增加梁的宽度，减少尺寸效应现象对结构动态响应特性的影响，从而使结构达到预期的设计要求。

4 结论

本文基于全应变梯度弹性理论提出了高冲击下微悬臂梁动态响应特性的理论分析方法，该方法可描述高冲击下微悬臂梁的弯曲特性、固有特性、动态响应特性的尺寸效应现象，还可描述微构件材料弹性模量的尺寸效应现象。实例分析表明，当微悬臂梁特征尺寸和内禀特征尺寸处于同一量级时，微悬臂梁的弯曲挠度、固有频率、动态位移响应均表现出明显的尺寸效应现象，合理地解释了实验结果和经典理论值误差较大的问题。本文研究还为后期MEMS器件的设计和加工提供了可靠的理论依据。

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Dynamic Response Characteristics of Micro Cantilever Beam Under High Impact

YIN Liwei, NIE Weirong, XI Zhanwen, ZHOU Zhijian

(School of Mechanical Engineering, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

In view of the obvious difference between classical theoretical value and experimental result of dynamic response characteristics of micro components under high impact, a size effect model of micro cantilever beam under high impact was put forward, and its dynamic response characteristic was analyzed depend on the theory of strain gradient. The size effect phenomenon about bending properties, inherent characteristics and dynamic response of micro cantilever beam can be described by this method. The results show that the size effect of bending deflection, natural frequency and dynamic displacement response of micro cantilever beam is obvious when characteristic dimension of micro cantilever beam and its intrinsic characteristics size are in the same order, thus, the obvious difference between classical theoretical value and experimental result of dynamic response characteristics can be described reasonably.

high impact; micro cantilever beam; dynamic response; size effect; strain gradient theory

2016-04-03

国家自然科学基金项目资助(51475245)

尹立威(1992—)，男，四川简阳人，硕士研究生，研究方向：微机电系统设计。E-mail:scyinlw@sina.com。

TJ430

A

1008-1194(2016)06-0020-06