基于延时相关的稀疏恢复高分辨来波方位估计

谢前朋，王伦文

(解放军电子工程学院，安徽 合肥 230037)

基于延时相关的稀疏恢复高分辨来波方位估计

谢前朋，王伦文

(解放军电子工程学院，安徽 合肥 230037)

针对MUSIC算法和基于四阶累积量的MUSIC-like算法在高斯色噪声背景下测向精度不理想的问题，提出基于延时相关的稀疏恢复高分辨来波方位估计算法。该算法利用蕴含在接收数据延时相关函数中的角度信息，采用所有阵元接收数据的延时相关函数构造新的阵列输出矩阵，进而构造新的协方差矩阵，并进行奇异值分解，建立稀疏表示模型，使用l1范数法对稀疏模型进行求解实现色噪声环境下高分辨DOA估计。仿真实验表明，基于延时相关的稀疏表示模型的测向分辨率好于基于传统子空间的MUSIC算法和基于四阶累积量的MUSIC-like算法，能降低协方差构造的复杂度，增强色噪声抑制能力。

来波方位估计；稀疏重构；延时相关函数

0 引言

波达方向(Direction of Arrival, DOA)估计是阵列信号处理的热点问题，在雷达、无线通信等军用和民用领域都得到了广泛的应用。然而，现代日益复杂的电磁环境对DOA高效估计提出了挑战。高斯白噪声背景下对DOA估计的影响的研究已经比较成熟，但高斯色噪声背景下对DOA估计精度的研究相对较少，本文主要研究色噪声背景下的来波方位估计问题。

近年来，针对色噪声背景下的DOA估计，人们也开展了一些研究。文献[1]利用最小化干扰约束投影自适应滤波方法，对不同噪声环境下的接收数据进行滤波处理，可以实现干扰的抑制和目标信号的精确恢复。文献[2]利用互耦误差自校正和联合DOA估计的方法，有效地实现了色噪声背景下多用户DOA估计，其不足在于对信源最大多径时延和信号经过阵列的时延有限制。文献[3]利用协方差归一化差值算法，提高了色噪声环境下的DOA估计的精度。文献[4]利用空间差分技术来解决宽带相干信号的DOA估计中的色噪声问题。其不足在于强干扰信号的方位信息通常无法获得。由于高斯噪声的四阶累积量为零，因此四阶累积量得到了广泛的应用。文献[5-8]利用四阶累积量研究了色噪声背景下单双基地MIMO雷达的目标角度估计，但是四阶累积量协方差矩阵的构造比较复杂，由于引入了虚拟阵元计算量较大。以上对色噪声环境下的DOA估计是基于空间谱估计中的子空间理论进行处理的。近年来出现的稀疏表示方法[9-10]使得DOA的估计问题有了新的求解方法。文献[11]把贪婪算法应用于DOA估计中，但贪婪算法在低信噪比条件下的适应性较差，且当原子间相关性较强时，算法性能也会下降。文献[12]把联合稀疏恢复应用于循环平稳信号的DOA估计中，联合稀疏的不足在于其性能受到过多的超参数的限制，且稳定性较差。文献[13-14]提出协方差矩阵稀疏表示的DOA估计方法，克服了在快拍数较小时小特征值的不稳定性，取得了较好的效果。通过分析可以看出，基于压缩感知稀疏恢复的算法在DOA估计中应用的越来越广。但以上稀疏恢复算法在高斯色噪声背景下会产生较大的误差。本文针对此问题，提出了基于延时相关[15]的稀疏恢复高分辨来波方位估计算法。

1 阵元间延时相关函数模型

设空间有P个入射信号，由M元均匀线阵构成接收阵列，第一个阵元是参考点，位于原点，阵元间距d为入射信号的半波长，其阵列导向矢量可以表示为：

(1)

式(1)中，θi为第i(i=1,2,…,P)个信号的入射角度，λ为入射信号的波长。

第m个阵元接收的数据为：

xm(t)=AmS(t)+nm(t)

(2)

式(2)中，Am=[am(θ1),am(θ2),…,am(θP)]为阵列导向矢量，S(t)=[s1(t),s2(t),…,sP(t)]T为P×1的信号矢量，nm(t)为第m个阵元的高斯噪声。

构造任意2个阵元(第m和第n个阵元，m,n=1,2,…,M)接收数据的延时相关函数为：

yxm,xn(τ)=E[xm(t)xn*(t-τ)]=

(3)

当存在一定的时延τ时，这里可以令时延τ远小于入射信号带宽的倒数，在时间τ内入射信号包络的变化可以忽略。

下面在噪声背景分别为白噪声背景和色噪声背景下分析Rnmnn(τ)的取值。

在白噪声背景下，由于噪声是加性高斯白噪声，在时间上可以认为噪声是不相关的，此时信号和噪声存在一个可分离特性，于是有：

σ2δ(τ)δ(m-n)=0

(4)

则式(3)可以写为：

Cm,nRS(τ)

(5)

式(5)中，Cm,n=[exp{-j(μm1-μn1)},…,exp{-j(μmP-μnP)}],RS(τ)=[RS1(τ),RS2(τ),…,RSP(τ)]T。可以将Cm,n写成2个矩阵相乘的形式，即：

Cm,n=AmBn

(6)

式(6)中，Bn=diag(exp(jμn1),exp(jμn2),…,exp(jμnP))为对角阵，Am为阵列流型矩阵A的第m行，且Am=[exp(-jμm1),exp(-jμm2),…,exp(-jμmP)]。

由此可得阵元间的延时相关函数为：

[Y1(τ),Y2(τ),…,YM(τ)]

(7)

式(7)中，Yk(τ)为Y(τ)的第k列(k=1,2,…,M)数据，结合式(6)可得：

Yk(τ)=ABkRS(τ)

(8)

由延时相关函数构造新的协方差矩阵为：

ARSS′(τ)AH

(9)

(10)

用rs表示矩阵RY的第一列，则上述准则可转化为凸优化问题[10]:

(11)

2 基于延时相关的稀疏恢复高分辨来波方位估计算法

本文基于构建的延时相关函数，对其进行奇异值分解，然后构建稀疏表示模型，利用l1-SVD算法对稀疏恢复模型进行求解。经过延时相关处理得到的协方差矩阵充分利用了所有阵元的延时相关信息，增加了协方差矩阵的信息量，可以有效提高阵列的分辨率和测角精度。从式(9)可以看出，经过延时相关处理得到的协方差矩阵保留了原协方差矩阵的流型矩阵，改变了信号的协方差矩阵，这对信号子空间和噪声子空间的构成没有影响。而基于l1-SVD的稀疏恢复算法，正是利用噪声子空间和信号子空间的正交性来实现降低运算的复杂度以及实现对来波方位的估计。利用本文所提算法的处理过程如下：

首先，对RY进行奇异值分解，得到:

RY=ULVH=[USUN]LVH

(12)

式(12)中，矩阵V是一个正交矩阵，矩阵L中奇异值按照重要性排列,即从大到小排列，而且其值减小的特别快。US为由P个大奇异值组成的信号子空间矩阵，UN由M-P个小特征值对应的左奇异值对应的左奇异向量组成的噪声子空间矩阵。在很多情况下，前P个奇异值的和就占了所有奇异值的和的99%以上，因此降维的过程就是舍弃代表噪声子空间的左奇异向量的过程，而剩下的向量为降维后的信号子空间。

然后，对RY右乘L中P个大奇异值所对应的特征向量，即V的前P列，得到信号子空间US：

US=ULDP

(13)

式(13)中，DP=[IP0]T,IP为P×P单位阵, 0为P×(M-P)的零矩阵。此时利用l1-SVD方法来估计信号的来波方位：

(14)

对于本文所提的算法，有以下几点说明：

1)本文所采用的均匀线阵，波束控制相对容易。但缺点在于波束扫描范围有限，最多不超过120°，这是因为扫描波束偏离阵列法线较远时，由于天线单元方向图调制，天线增益下降非常多。同时阵列的孔径也在下降，导致波束展宽，阵列角分辨率下降。

2)本文仅考虑在理想的情况下对来波方位的估计，阵元间的互耦、阵元位置误差以及阵元通道不一致性都没有考虑。这些因素会导致模型的变化。

3)由于使用l1-SVD方法在低快拍数条件下容易出现伪峰问题，本文利用l1范数对延时相关模型进行求解时，在实验中所采用的的快拍数均较高。

3 实验及性能分析

实验1设三个窄带信号从-15°，-22°和10° 方向上入射到10元均匀线阵上，阵元间距为半波长。延时相关的τ取10个快拍数。过完备原子基矩阵中的角度变化范围为-90°～90°，相邻原子的角度间隔为1°。快拍数为500，噪声为高斯白噪声，在 SNR=5 dB时，本文算法与四阶累积量算法以及MUSIC算法的空间谱估计如图1所示。

图1 白噪声下的空间谱Fig.1 Spatial spectrum in Gaussian white noise

从图1中可以看出，本文算法的性能优于基于四阶累积量的算法以及MUSIC算法。相对于其他两种算法，本文算法具有较尖锐的谱峰。在-15°、-22°和10°的方向上能精确地恢复出信号的来波方位。下面比较在不同信噪比下，本文算法与四阶累积量算法以及MUSIC算法对窄带非相干信号的估计的均方根误差。实验中，信噪比变化范围为-8～8 dB。相邻信噪比相差2 dB，每个信噪比条件下进行100次蒙特卡罗实验，其他实验条件不变。定义角度估计均方根误差

如图2所示，本文算法在较低信噪比下，比如当SNR=-8 dB时，本文算法的均方根误差为2.35°，而MUSIC算法和四阶累积量算法分别为4.55°和3.2°。原因是在低信噪比时，通过有限次快拍数计算得到的四阶累积量对高斯白噪声的抑制作用不明显，而MUSIC算法则对噪声没有抑制能力。本文算法则充分利用了所有阵元接收数据的延时相关函数的信息，对信息的利用更加充分，同时对噪声的抑制更加明显。

图2 不同信噪比下非相干信号DOA估计的RMSEFig.2 RMSE of DOA estimation versus SNR for incoherent signal contaminated by gaussian white noise

实验2比较三种算法在不同的快拍数下的均方误差。实验中，信源数和阵元数条件与实验1相同，其他实验条件不变。白噪声条件下信噪比取-6 dB。快拍数从100到1 000，每次的增量为100快拍，每个快拍数下进行100次蒙特卡洛实验。得到的RMSE随快拍数的变化曲线如图3。

图3 不同快拍数下DOA估计的RMSEFig.3 RMSE of DOA estimation versus snapshots

从图2、图3可以看出三种算法的均方误差均随着信噪比的增加和快拍数的增多而减小，在高斯白噪声背景下，增大快拍数和提高信噪比可以加强对高斯白噪声的抑制作用，提高角度估计的精度。在三种算法中，本文算法的性能较好，具有较高的估计精度。下面通过实验来验证高斯色噪声下本文算法的性能，由于MUSIC算法不适用于高斯色噪声背景下，因此不对MUSIC算法进行仿真验证。只考虑四阶累积量算法和本文算法的性能。

实验3比较在高斯色噪声背景下，本文算法与四阶累积量的来波方位估计性能。实验中高斯色噪声为高斯白噪声通过传递函数为H(z)=1+2z-1+z-2+z-3的输出。三个窄带信号分别从-15°、-22°和10°的方向上入射到10元均匀线阵上，阵元间距为半波长。过完备原子基矩阵中的角度变化范围为-90°～90°，相邻原子的角度间隔为1°。快拍数为500，高斯色噪声下，信噪比取4 dB。

从图4中可以看出，本文算法能较精确地恢复出三个信号的来波方位，且具有较大的谱峰。而基于四阶累积量的MUSIC-like算法虽然也能恢复出来信号的来波方位，但是其具有较低的谱峰且存在一定的误差。在-22°和-15°的方向上，基于四阶累积量的算法测出的角度分别为-22.6°和-15.3°，与真实的来波方位分别存在0.6°和0.3°的误差。从以上空间谱测向误差说明基于压缩感知稀疏恢复理论的来波方位的估计算法相对于传统经典的算法具有更高的角度分辨率和更高的估计精度。下面比较在高斯色噪声背景下，本文算法和基于四阶累积量的MUSIC-like算法的角度分辨率。

图4 色噪声下的空间谱Fig.4 Spatial spectrum in gaussian color noise

图5 不同角度间隔下成功分辨信源的概率Fig.5 Probability of successful resolution versus angle interval

从图5中可以看出，在高斯色噪声背景下，本文算法在不同角度间隔下对信源的成功分辨概率高于四阶累积量的方法。本文算法在角度间隔Δθ≥2°时，能够实现100%的成功分辨。而基于四阶累积量的算法在 Δθ≥4°时，才能达到接近100%的成功分辨率。说明基于延时相关的算法角度分辨精度较高。在对来波方位估计时能达到更好的估计精度。

4 结论

本文提出了基于延时相关的稀疏恢复高分辨来波方位估计算法。该算法利用阵列输出数据的延时相关函数构建了稀疏表示模型，在高斯白噪声以及色噪声背景下，该模型均能够抑制噪声，并且利用凸优化方法对稀疏表示模型进行了求解。分别在高斯白噪声和色噪声背景下考察了信噪比、快拍数以及角度间隔对测向系统中分辨率的影响。仿真分析表明，基于延时相关的稀疏表示模型的测向分辨率好于基于传统子空间的MUSIC算法和基于四阶累积量的MUSIC-like算法。本文算法的局限性在于对高斯色噪声进行处理时要求噪声的相关性远小于信号的相关性以及使用稀疏恢复算法时正则化参数的选取对实验结果的影响还有待于进一步研究。

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High Resolution DOA Estimation Based on Sparse Reconstruction of Delay Correlation Function

XIE Qianpeng, WANG Lunwen

(Electronic Engineering Institute of PLA, Hefei 230037,China)

In order to solve theproblem of angular precision of DOA estimation of MUSIC algorithm and MUSIC-like algorithm in the background of Gaussian color noise, an approach for high resolution DOA estimation based on sparse reconstruction of the delay correlation function of the received data preprocessing was proposed. The proposed algorithm made full use of the information of the direction of arrival contained in the delay correlation function and used the delay correlation function of all the received data to construct a new array matrix, then through the singular value decomposition to construct the sparse representation model and usingl1norm algorithm to realize high resolution DOA estimation in the background of Gaussian color noise. The proposed algorithm had lower covariance computational complexity and good ability to restrain Gaussian color noise. Experimental results showed that the resolution DOA estimation of sparse representation model based on time delay correlation function had a better performance than MUSIC algorithm based on the traditional subspace and MUSIC-like algorithm based on fourth-order cumulant.

direction of arrival estimation; sparse reconstruction; delay correlation function

2016-05-27

国家自然科学基金项目资助(61273302)

谢前朋(1991—)，男，河南郸城人，硕士研究生，研究方向：智能信号处理。E-mail：13721038905@163.com。

TN911.23

A

1008-1194(2016)06-0074-06