一类常微分方程的数值解法

薛雷

(山东财经大学 东方学院， 山东 泰安 271000)

一类常微分方程的数值解法

薛雷

(山东财经大学 东方学院， 山东 泰安 271000)

微分算子属于无界限性算子，在实际中得到了广泛的应用[1-6],特别是在工程、数学、物理等领域中应用更为广泛.微分算子理论中包括多种理论知识，如谱理论、自共轭扩张理论、数值计算、亏指数理论等.其中,谱理论在所有知识中又是最重要的，可以视其为核心.在数学界，微观粒子之间的作用一直是研究的热点问题，而Sturm-Liouville这一问题更是成为所有学者的研究焦点.Sturm-Liouville问题是二阶常微分方程分离变量求解方法的重要理论.徐有基[7]应用Leray-Schauder延拓定理，得到了二阶广义Sturm-Liouville边界条件多点边值问题的可解行.陈东晓等[8]研究了一类满足Sturm-Liouville积分边值条件的二阶非线性微分方程的正解性.基于以上研究，本文研究一类正则Sturm-Liouville微分方程的数值解.

1 预备知识

Sturm-Liouville方程为

上式中：p(x)，q(x)，ρ(x)在定义域内都是x的是函数，且p(x)>0,ρ(x)>0,q(x)>0.

在定义域范围内p(x)，q(x)及p′(x)连续的.Sturm-Liouville方程齐边界条件可以归纳为

T(a)=T(b)=0，T′(a)=T′(b)=0，T(a)=T′(b)=0.

(1)

由式(1)，可以求解Sturm-Liouville方程非零解.Sturm-Liouville的和复的边界条件为

用Φ9和Φ22表示p(x) Φ11及p(x) Φ12.令Φ(x,λ)为Sturm-Liouville方程的解，有

Sturm-Liouville方程的解可以化简为

因此，边界条件可以形成AY(a)+BY(b)=0.分离边界条件可以表示为

Y(x)可以用复数写为

Sturm-Liouville方程分离边界条件[9]为

上式中：a≤b，都为实数；α,β取值范围为[0,π].

2 一些引理及证明

关于Sturm-Liouville方程的完整性有如下3个引理.

证明 当|λ|→∞时，渐近公式为

因此，估计值为

3 主要结果

当α=π，β=π时，有

an,bn的计算分别为

4 实际的应用

[1]BONHEURED,GOMESJM,HABETSP.Multiplepositivesolutionsofsuperlinearellipticproblemswithsign-changingweight[J].JournalofDifferentialEquations,2005,214(1):36-64.

[2]KHOLKINAM,ROFE-BEKETOVFS.Onspectrumofdifferentialoperatorwithblock-triangularmatrixcoefficients[J].JournalofMathematicalPhysicsAnalysisGeometry,2014,10(1):44-63.

[3]BASKAKOVAG,DIDENKOVB.Spectralanalysisofdifferentialoperatorswithunboundedperiodiccoefficients[J].DifferentialEquations,2015,51(3):325-341.

[4]GRUBBG.FractionalLaplaciansondomains,adevelopmentofHörmander′stheoryofμ-transmissionpseudodifferentialoperators[J].AdvancesinMathematics,2014,268(18):478-528.

[5]GRUBBG.Localandnonlocalboundaryconditionsforμ-transmissionandfractionalellipticpseudodifferentialoperators[J].Mathematics,2014,7(7):1649-1682.

[6]MIRONOVAE.Self-adjointcommutingordinarydifferentialoperators[J].InventionesMathematicae,2014,197(2):1-15.

[7] 徐有基.一类二阶广义Sturm-Liouville边界条件多点边值问题的可解性[J].西北师范大学学报(自然科学版),2008,44(4):1-5.

[8] 陈东晓,陈应生.二阶微分方程积分边值问题正解的存在性[J].华侨大学学报(自然科学版),2013,34(5):587-590.

[9]FELTRING,ZANOLINF.Existenceofpositivesolutionsinthesuperlinearcaseviacoincidencedegree:Theneumannandtheperiodicboundaryvalueproblems[J].AdvancesinDifferentialEquations,2015,20(9/10):937-982.

[10] HARUTYUNYAN T N.The dependence of the eigenvalues of the Sturm-Liouville problem on boundary conditions[J].Matematicki Vesnik，2008,60(4):285-294.

(责任编辑： 陈志贤 英文审校： 黄心中)

Numerical Solution for Class of Ordinary Differential Equations

XUE Lei

(Dongfang College, Shandong University of Finance and Economics， Taian 271000, China)

：Sturm-Liouvilledifferentialequation；boundaryvalue；positivesolution;differentialoperator

10.11830/ISSN.1000-5013.201701026

2016-12-05

薛雷(1982-)，男，讲师，博士，主要从事微积分及经济数学的研究.E-mail:xue-xiao@163.com.

国家自然科学基金管理科学面上资助项目(70971014)

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