三角函数问题在实际生活中的应用

2017-01-12 01:47王雪纯
成长·读写月刊 2016年12期
关键词:三角函数数形结合应用

王雪纯

【摘 要】三角函数是一种重要的数学工具,其数形结合的思想使某些问题的解决大大简化,利用其基本函数之间的巧妙关系所得到的结果往往令人惊叹。从三角函数的一般内涵和基本特性出发,可以分析得到几种常见的三角函数类型;再由纯数学问题延伸到具体工程问题,由此体现三角函数问题在实际生活中的应用。

【关键词】三角函数;数形结合;应用

科学源于实践,亦将指导实践。数学也是科学,任何一种数学方法都有它的实际应用场合,三角函数作为一种常用的初等函数,应用更是广泛,而熟练应用某种数学方法的基础在于首先掌握相关的数学理论。从我们学生的角度而言,既要看到数学方法的实用性,更要懂得百炼方能成钢的道理。

一、三角函数概述

(一)基本内涵

众所周知的是,三角函数为6大基本初等函数之一,在高中数学的学习中,其基础性和重要性不言而喻。一般认为,三角函数包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割,实际上从本质上来看,要表示直角三角形三条边长度的比例关系,基础表达式只需要一个:正弦,另外五个都可依据正弦值进行简单的运算而推导出来。如果考虑到任意角的三角函数,那需要两个基础表达式:正弦和余弦,以确定该角度对应的终边在哪个象限。在应用三角函数解决问题时,合理利用不同三角函数之间的转换关系,是其最基本的方法之一。

(二)函数特性

三角函数的多个基础表达式之间可以灵活变换,这既是其基本内涵,也是其函数特性之一。将某个三角函数单独拿出来看,还可以挖掘更多的特性。

第一,周期性。无论正弦余弦、正切余切,还是正割余割,都是周期函数,这一特性是将三角函数拓展延伸的基础。将函数图像沿着坐标横轴平移,会产生相位的变化,这在物理学上对波的研究有重要意义。第二,三角函数表达式的三个基本特征量是:幅值、频率、相位。抓住了这三个特征量,就抓住了分析三角函数的入口。第三,特定的定义域和值域。六个三角函数都有自己特定的定义域和值域,在求解三角函数问题时,需要特别关注其定义域和值域的限制。

二、三角函数问题的常见类型

(一)周期性及特征值问题

比较四个数的大小:

(二)表达式化简问题

化简表达式y=4+8sinxcosx+8cos2x-8cos4x。

这道化简题并不难,但其原本的表达式很难直观地看出该函数的性质,为了便于分析,需要先进行函数化简。

y=4+4sin2x+8cos2x(1-cos2x)

=4+4sin2x+8cos2xsin2x

=4+4sin2x+2sin22x

=2(1+sin2x)2+2

经过化简,函数表达式变得异常简单,十分容易在脑海中联想出函数特性。

(三)极值问题

以上一题为例,求其极值。

sin2x的的值域是[-1,1],带入化简后的表达式中,很容易得到函数y的极大值为2*(1+1)2+2=10,,极小值为2*(1-1)2+2=2.

(四)三角函数表达式构建问题

如图,要把一个圆形截面的木材切成矩形的,问怎样切才能充分利用材料,使矩形截面积最大?

三、应用延伸

前文说到对纯数学问题的掌握是实际应用的基础,事实上,实际问题不仅仅在难度上更有挑战性,在问题的条件取舍上也更有讲究,没有所谓的理想情况,但适当的简化条件是有必要的,这不仅仅是针对于三角函数问题,所有的理论运用于实践时都需要经过这样的调整。

(一)建筑面积规划

如图是一块正方形空地,边长100米,扇形部分是一块绿化地,半径为90米,要在剩余空间中取一矩形部分作为停车区域,并使停车区域的一个边界点落在扇形圆弧上,相邻两边落在DC、BC边上,问如何规划可使停车区域面积最大?

得S=10000-9000t+8100*(t2-1)/2=4050(t-10/9)2+950,当t=时,S取最大值,即当?兹=?仔/4时,停车区域面积最大。

(二)力学问题

如图,地面有一根30厘米长的木棒,其顶端受到一个水平向右的恒力T,可绕其下端C点旋转,木棒左边有个长20厘米的弹簧与木棒连接于A点,弹簧的另一端固定于地面,如果要使弹簧所受拉力最小,应如何选取A点?

这两个实际问题的应用,都是将实际问题简化后提取一个数学模型,并利用三角函数构建表达式,然后在分析函数特性,求解其极值。

结论

关于三角函数的知识从初中起便已进入课堂,在高中数学中得到进一步加深和巩固,其图像和代数之间的神奇联系经常让我沉醉。在实际生活中,三角函数问题无处不在,小到一条线段长度的计算,大到跨江大桥、摩天大楼的设计,都有它的身影。经过大量的练习,在我眼里sin和cos仿佛太极图里的阴阳两极,凭借周期性的函数映射关系、特定的定义域与值域,经过有效的变换,使复杂的问题迎刃而解。

参考文献:

[1]王红晓.三角函数在物理力学中的运用[J].中学生数理化(学习研究),2016,05:39+3.

猜你喜欢
三角函数数形结合应用
高中数学教学方法略谈
略谈高中数学三角函数学习
数形结合在解题中的应用
三角函数最值问题
用联系发展的观点看解析几何