环肋圆柱壳卧置状态下的重力变形分析

刘东，张岳林，陈武

1中国人民解放军91404部队，河北秦皇岛066001

2海军驻上海江南（造船）集团有限责任公司军事代表室，上海201913

环肋圆柱壳卧置状态下的重力变形分析

刘东1，张岳林1，陈武2

1中国人民解放军91404部队，河北秦皇岛066001

2海军驻上海江南（造船）集团有限责任公司军事代表室，上海201913

为了研究潜艇耐压壳体合拢阶段端口处在自身重力作用下产生的变形，基于板壳理论的有矩理论和无矩理论，推导环肋圆柱壳自由端变形的简单计算公式，计算结果与有限元仿真结果进行了比较，验证了公式的可靠性。结果表明：当底部简支的薄壁圆柱壳受到自身重力影响时，自由端变形量与圆柱壳内半径的四次方成正比，与壁厚的二次方成反比；对于悬臂圆柱壳，重力载荷对自由端面的圆度影响不大，随着自由端与固支端的距离增大自由端变形量呈非线性递增趋势，且增加速率逐渐增大。随着圆柱壳内半径增加，自由端变形量逐渐降低，当圆柱壳内半径是纵向长度的0.75倍时，自由端变形量达到最小，此后，随着圆柱壳内半径增加而逐渐增大。研究结果可为环肋圆柱壳卧置状态下的重力变形计算和加强措施提供参考。

环肋圆柱壳；重力变形；结构力学；弹性力学；板壳理论；无矩理论

0 引 言

20世纪40年代以来，造船模式大致经历了4个阶段，包括按功能/系统组织生产、按区域/系统组织生产、按区域/阶段/类型组织生产以及按区域/阶段/类型一体化组织生产，最后阶段的造船模式又称为现代造船模式［1-4］，该模式有利于加强船舶工业企业管理、缩短造船周期、提高建造效率及现代化管理水平，从而被国内外造船界公认为当今最先进的造船模式。但是，随着现代造船模式的兴起，在传统造船模式中没有出现过的问题也逐渐显现。以潜艇建造为例，作为典型环肋圆柱壳的耐压壳体在合拢施工阶段均处于卧置状态，按照总段模块化建造要求，很多设备在组装前已经安装到位，卧置的圆柱壳在自身重力作用下会产生变形。当变形超出一定范围后，将对耐压壳体大合拢阶段的装配造成影响，例如，在壳体的椭圆度较大时强行装配圆柱壳圈会产生较大应力，严重时可能产生裂纹，造成安全隐患。

目前，解决该问题的通常做法是在圆柱壳的端部设置内部支撑结构，以避免卧置状态下因自身重力作用及其他载荷原因引起变形。但按模块化设备安装施工的需要，部分圆柱壳的端部不能设置支撑结构，为了提高圆柱壳结构的安全性、总段合拢施工效率以及保证建造质量，需要先预报处于卧置状态下的圆柱壳在自身重力和设备等其他载荷的影响下产生的变形量，进而提出相应的解决措施。

在圆柱壳中，为了得到应力状态的近似解，计算时，可取圆柱壳端部变形的平均值作为计算值［5］，而主曲率半径变化通常可以忽略不计［6］。

对圆柱壳进行非线性分析，必须考虑以下2个问题：第一，建立能正确描述结构非线性特性的基本方程［7-8］；第二，方程组建立后，寻求简单、有效的求解方法。目前，圆柱壳非线性问题的求解方法主要有2种，即半解析法和数值法。半解析法指在求解控制方程的过程中引入部分解析解或解析函数；解析法指在求解球—环—锥组合壳体结构时，取薄膜解和边缘力作用下有矩解的和来表示各壳段的内力，并利用边界条件，得到结构应力的解析式［9］。龚良贵等［10］基于卡门假设和板壳理论，建立了球对称变形下完整球壳非线性弯曲的控制方程。郑衍双等［11］为了研究局部缺陷对球壳破坏压力的影响，开展了14个铝球壳和4个钢球壳的模型试验，并得到球壳破坏一般为局部现象的试验结果。

在圆柱壳的几何、物理模型及重力载荷引入某些简化假设的基础上，本文采用经典板壳理论中的有矩理论和无矩理论，对环肋圆柱壳在自身重力作用下的变形及其影响因素进行研究分析。

1 理想圆柱壳的自重变形

图1所示为处于卧置状态下有底部简支的理想圆柱壳。图中：A为圆柱壳上任意位置的截面，A0，A1，A2分别为X轴正向、Z轴负向和Z轴正向截面一部分；U1，U2，ω0分别为A1，A2，A0截面在各自方向上的变形，mm；P为支撑点，R为圆柱壳内半径，mm。对于A截面：X=Rcosφ，Z=Rsinφ。M0，M1为作用于圆柱壳任意截面A的弯矩，而作用于圆柱壳任意截面A的垂直力对弯矩M的影响很小，可忽略不计；M2为第一象限A2至A的圆柱壳自身重力作用于A截面的弯矩；圆柱壳底部支撑平台对右半侧圆柱壳的反作用力传递到截面A0的值为P/2。

图1 底部简支的理想圆柱壳［12］Fig.1 Ideal cylindrical shell with bottom simplesupported boundary condition［12］

设圆柱壳位于第一象限的部分于A0截面处固定，在M2作用下，A2分别向下和向左位移，并按下式计算M2。

式中：F为圆柱壳截面面积，mm2；γ为圆柱壳重度，N/mm3；φ为计算点与X轴正向的夹角，（°）。

对于圆柱壳下半圆的第四象限，设第四象限的圆柱壳于A0截面处固定，则在平台对右半侧圆柱壳向上的反作用P和第四象限圆柱壳向下的自身重力共同作用于任意截面A的弯矩M1作用下，A1向左上方位移。第一象限圆柱壳的自身重力作用于A0截面的值是P/2，并按下式计算M1：

则

即作用于圆柱壳任意截面A的弯矩相等。

以第四象限为例，计算弯矩M值。令ε0=0，ω=-RM/EI，其中：ε0为线应变，mm；ω为角应变，rad；E为圆柱壳材料的弹性模量，MPa；I为截面惯性矩，mm4。

A0和A1两个截面的夹角在圆柱壳自身重力作用下发生变化，其中

求解得到弯矩后，圆柱壳在自身重力作用下垂直方向变形量U指的是垂直位置的圆柱壳内半径在垂直方向的减少量。第四象限A1点在垂直方向向上的位移U1

由此，垂直位置的圆柱壳内半径在垂直方向的减少量U

式中：ρ为材料密度，kg/m3；g为重力加速度，m/s2。

2 悬臂圆柱壳的自重变形

板壳理论是19世纪末基于基尔霍夫—乐甫（Kirchhoff-Love）假设建立起来的。根据板壳理论，如果壳体的几何形状和表面载荷都是连续可微函数，则壳体处于无弯矩的应力状态，即称之为板壳的无矩理论。

如图2所示，q1，q2，q3为圆柱壳所受载荷q0分别在纵向、环向及法向的分量；FT1，FT2和FT12=FT21分别为纵向拉压力、环向拉力及平错力，则柱壳的无矩理论平衡方程和弹性方程分别由式（8），式（9）给出。

图2 圆柱壳的无矩理论示意图Fig.2 Schematic of non-moment theory of cylindrical shell

式中：u，v，w为圆柱壳中面内各点的纵向、环向及法向位移，mm；α，β分别为圆柱壳纵向、环向长度，mm，δ为圆柱壳厚度，mm；μ为泊松比。

图3所示为假设全长为l的某个各向同性材料的悬臂圆柱壳。图中，左、右两端分别为固支端和自由端。

图3 悬臂圆柱壳示意图Fig.3 Schematic of antilever cylindrical shell

取圆柱壳截面中点O为坐标原点，由于对称性，只对圆柱壳纵向长度α的正向进行计算，载荷q0及其在3个方向上单位面积载荷分量分别为：q0=ρδg,q1=0,q2=q0sinφ,q3=-q0cosφ，由式（8）第3式可得环向拉力FT2。

其中，R为β的函数，代入式（8）第2式，得

对式（11）进行积分后得到FT12=2q0(l-α)sinφ，其中，积分后产生的常数分别由2个边界条件确定，即自由边：FT1=FT12=FT21=0；固定边：u=v=0。

将2个边界条件代入式（8）第1式得到：

然后，对圆柱壳纵向长度α进行积分可得到：

将式（13）代入式（9）第1式积分，得到法向位移u

再将式（14）代入式（9）第3式，得到环向位移v

为了简化考虑，记

最后，将式（15）代入式（9）第2式，得到法向位移w。

2.1 自由端变形随α的变化

采用上述理论方法，计算圆柱壳不同纵向长度α时的自由端顶点的变形，同时进行有限元仿真，并与理论值进行比较，研究自由端变形随α变化的规律。采用大型有限元软件ABAQUS进行求解，不考虑非线性修正。选取4种不同纵向长度α与圆柱壳内半径R的比值，且δ=0.01R。对模型施加g=9 800 m/s2的重力载荷，得到表1所示两种方法的计算结果，以及圆柱壳自由端变形云图（图4）和自由端变形随α变化的曲线（图5）。

图4 有限元仿真的自由端变形云图Fig.4 Contours of free end deformation by finite element analysis

图5 自由端变形随α变化曲线Fig.5 Curve of free end deformation range changing withα

由表1和图4可知，本文计算结果和采用ABAQUS软件仿真解较为接近，相对误差控制在3%以内，自由端变形量随α增大而呈非线性递增趋势，且增加速率逐渐增大，说明自由端与固支端的距离是影响自由端变形的重要因素。由图5也可以看出，距固支端较近的位置无明显变形。在实际工程中，应尽量增加支撑墩木的数量以避免自由端与固支端距离过大。本文计算结果相较于有限元解偏大，主要是因为有限元仿真使用了4节点线性缩减积分单元（S4R），采用完全积分单元有望使计算结果更加精确。

表1 自由端变形随α变化的计算结果比较Table 1 Results comparison of free end deformation changing with α

2.2 自由端变形随δ的变化

由板壳理论可知，薄壁壳体问题仅适用于壁厚小于1/20内半径的情况。为了建立一系列壁厚大范围变化的悬臂圆柱壳模型，仿真时将圆柱壳的壁厚δ控制在其内半径的1/20以内。选取4种不同壁厚δ与内半径R的比值。对模型施加g=9 800 m/s2重力载荷，得到表2所示2种方法的计算结果，以及圆柱壳自由端变形随δ变化的曲线（图6）。

由表2和图6可知，随着δ增大，自由端变形未发生变化，这与自由端变形的表达式是一致的。由u，v，w的表达式可知，各式中均含有q0=Eδ项，而q0=ρδg，消去δ可以发现自由端变形是一个与δ无关的值。根据有限元仿真结果，随着δ增大，自由端变形呈线性略微减小的趋势。这是由于圆柱壳壁厚增大改变了模型的刚度，与实际情况相符，说明随着δ增大，本文计算结果的精度逐渐变差，但与有限元解的相对误差控制在2%以内，满足工程实际需求。基于数值法引入修正系数有利于提高计算结果精度。

表2 自由端变形随δ变化的计算结果比较Table 2 Results comparison of free end deformation changing withδ

图6 自由端变形随δ变化曲线Fig.6 Curve of deformation range changing withδ

2.3 自由端变形随R的变化

根据实际情况，本文选取内半径R分别为2 000，3 000，4 000，5 000，6 000 mm的环肋圆柱壳，并选取与5种不同纵向长度α的比值，对模型施加g=9 800 m/s2的重力载荷，经计算后，得到如表3所示两种方法的计算结果，以及自由端变形随R变化的曲线（图7）。

表3 自由端变形随R变化的计算结果比较Table 3 Results comparison of free end deformation changing withR

图7 自由端变形随R变化曲线Fig.7 Curve of deformation range changing withR

由图7可知，随着圆柱壳内半径增大，自由端变形逐渐减小，当R=0.75α时，自由端变形量达到最小，之后随着R增大而逐渐增大。结合图4自由端变形云图可知，无论无矩理论解，还是有限元仿真解，自由端上方变形和下方变形都是相似的，即重力载荷并未大幅度改变圆柱壳的圆度。在研究自由端变形随R变化时，本文解相较于有限元解偏大，相对误差1%左右。

3 算例分析

以图8所示的环肋圆柱壳为研究对象，计算端面变形。该圆柱壳为某潜艇舱段仿真图，舱段全长10 000 mm，肋骨间距100 mm，肋骨尺寸圆柱壳内半径4 500 mm，材料密度ρ=7 850 kg/m3，弹性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3，后2个参数可以反映舱段合拢处圆柱壳的刚度。对于支撑结构的刚度，由于本文主要目的在于研究需要合拢的2个端面的变形差，即使支撑结构发生较大变形，2个端面支撑结构的变形也基本一致，2个端面变形差还是主要取决于圆柱壳自身重力作用，故边界条件为底部简支。

图8 环肋圆柱壳模型Fig.8 Model of stiffened cylindrical shell

在计算环肋圆柱壳端面变形时，引入了2个假设条件：外板厚度相对于肋骨腹板较小，将外板重量施加在腹板上，基于有矩理论计算腹板的自重变形；肋骨变形后为端面提供固支的边界条件，则该问题变成基于无矩理论计算悬臂圆柱壳的自由端变形，求解2个变形量的代数和，即得到端面变形。

肋骨变形

自由端变形

端面变形

4 结 论

本文对环肋圆柱壳卧置状态下的重力变形进行了分析，得到以下结论：

1）对于理想圆柱壳底部简支情况，有矩理论表明，在自身重力作用下，圆柱壳垂直位置的内半径在垂直方向减少量随内半径增大而增大，随厚度增大而减小，变形量基本上与内半径的四次方成正比，与厚度的二次方成反比。

2）对于设置有固支端和自由端的悬臂圆柱壳情况，无矩理论表明，自由端变形量随圆柱壳内半径增大而减小，随厚度增大而减小，同一端面各点的变形量大致相同，即重力载荷对自由端面的圆度影响不大。

3）根据本文计算分析，悬臂圆柱壳自由端变形数量级较小，在工程实际中，横舱壁刚度较大，可近似提供固支边界条件，说明横舱壁对自由端变形影响很大。

4）本文在使用有限元建模时采用了4节点线性缩减积分单元，而使用非线性完全积分单元能否提高精度是下一步研究的方向。

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Deformation analysis of horizontal stiffened cylindrical shells under the effects of gravity

LIU Dong1，ZHANG Yuelin1，CHEN Wu2

1 The 91404thUnit of PLA，Qinhuangdao 066001，China

2 Naval Military Representative Office in Jiangnan Shipyard（Group）Co.，Ltd.，Shanghai 201913，China

In order to study the deformation of submarine pressure hulls under the effects of gravity，a sim⁃ple calculation formula of the deformation of the free ends of stiffened cylindrical shells is derived based on moment theory and non-moment theory，and the calculated results are compared with the results of Finite Element Analysis（FEA）which tests the reliability of the formula.The results show that when a thin-wall cylindrical shell simply supported at the bottom is affected by its own gravity，the deformation degree at the free end is directly proportional to the fourth power of the inner diameter of the cylindrical shell，and in⁃versely proportional to the square of the wall thickness；for cantilever cylindrical shells，the gravity load has little effect on the roundness of the free end plane.With the nonlinear increase of distance between the free end and fixed supporting end，the increase rate increases gradually.With the increase of the inner di⁃ameter of the cylindrical shell，the deformation degree of the free end decreases gradually.When the inner diameter of the cylindrical shell is 0.75 times its longitudinal length，the deformation degree of the free end is at a minimum，then increases gradually as the inner diameter increases.The gravity deformation calcula⁃tion of ring stiffened cylindrical shells in a horizontal state and the strengthening measures can provide ref⁃erences for further study.

stiffened cylindrical shell；gravity deformation；structural mechanics；elastic mechanics；plate and shell theory；non-moment theory

U661.43

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2017.01.011

2016-03-13

2016-12-28 15:43

刘东，男，1978年生，工程师。研究方向：舰船维修与管理工程张岳林（通信作者），男，1990年生，硕士，助理工程师。研究方向：舰船设计制造与维修工程。E-mail:zhangyuelin24@hotmail.com

http://www.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20161228.1543.020.html期刊网址：www.ship-research.com

刘东，张岳林，陈武.环肋圆柱壳卧置状态下的重力变形分析［J］.中国舰船研究，2017，12（1）：72-77. LIU D，ZHANG Y L，CHEN W.Deformation analysis of horizontal stiffened cylindrical shells under the effects of grav⁃ity［J］.Chinese Journal of Ship Research，2017，12（1）：72-77.