审题教学的常用策略

王友峰●

江苏省苏州工业园区青剑湖学校(215000)



审题教学的常用策略

王友峰●

江苏省苏州工业园区青剑湖学校(215000)

数学教学离不开解题教学,而解题教学的关键又是审题教学.因此加强审题教学的研究具有重要的意义.笔者根据长期的教学实践，归纳审题教学的常用策略.

数学教学；审题研究；常用策略

数学教学离不开解题教学,而解题教学的关键又是审题教学.可以说，数学解题教学成在审题教学,败也在审题教学.著名数学教育家波利亚说:“最糟糕的情况就是学生没有弄清问题就进行演算和作图.” 因此，加强审题教学的研究具有重要的意义.现根据笔者长期教学实践，归纳审题教学的常用策略，供大家进行审题教学研究时参考，不当之处请指教.

策略一 引导审条件，学会挖隐含

我们知道，任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的.条件是解题的重要素材，是获取“怎样解这道题”的逻辑起点，是思维的启动器.充分利用条件及其内在联系是正确解题的必由之路.数学条件一般有显性和隐性之分，解题教学中的审条件就是要把它们全都找出来，无一遗漏，特别是要引导学生学会对隐含条件的挖掘，进而充分发挥隐含条件的解题功能；在此基础上，还要引导学生弄清条件所蕴涵的数学含义，即要求学生看清楚条件所表达的到底是哪些数学概念、哪些数学关系等，从而为顺利解题提供新的信息与依据，产生思维源，这样学生的解题思路就能应运而生.

例1 (2016年山东省威海市中考题)若x2-3y-5=0，则6y-2x2-6的值为( )

A．4 B．-4 C．16 D．-16

教学分析 求代数式值的基本方法是代入，但本题中给出的已知条件是一个等式，如何代入呢？这正是本题的绝妙之处，随着解题者审题角度的不同，解法也不同，真是：“把戏人人会做，各有巧妙不同”，这不仅给解题者提供了进行多角度思考，展示聪明才智的广阔空间，也为我们多角度开展审题教学提供了极好素材.

角度2 (整体代入法)观察求值式会发现，题目中的条件与结论存在隐含的数量关系，为此把已知条件x2-3y-5=0变形为x2-3y=5，把求值式6y-2x2-6变形为-2(x2-3y)-6，然后整体代入，即可简捷求得其值.也可把已知条件两边同乘以-2，得到6y-2x2=-10，然后整体代入，也可简捷求得其值，选D.

策略二 引导审结论，学会巧转化

数学解题的最终目的是求出结论或说明已给结论的正确与错误，我们在解题时都是围绕问题的结论来确定思考方向的.因此，在审结论时，要注意引导学生在结论的启发下，探索已知条件与结论之间存在哪些内在联系和转化的规律，学会从中捕捉有用的解题信息，灵活地对结论进行转化，使之逐步靠向已知条件，从而发现和确定解决问题的途径.

例2 (2012年山东省泰安市中考题)1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数有____个．

教学分析 本题的结论是要求无理数的个数，在1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根(共200个数)中确定无理数的个数，比较复杂，很多学生感到棘手．此时，我们可以这样引导学生去思考：对于这200个数，可以分为有理数和无理数这两类，我们对有理数比较熟悉，因此只要先分别找出1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中有理数的个数，则无理数的个数唾手可得．事实上，1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根中，有理数有10个，因此无理数有90个； 而1，2，3，…，100这100个自然数的立方根中，有理数有4个，因此无理数有96个.所以，1，2，3,…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有90+96=186个．

教学反思 要找出这200个数中的所有无理数(共186个)比较困难，引导学生通过审题发现，这200个数不是有理数就是无理数，找出这种内在联系，就会自然将问题进行转化，变找无理数为找有理数，而这些有理数是学生十分熟悉的，这样问题就由生疏变为熟悉，由复杂变为简单，学生求解就十分容易了．本题虽是填空题，不要求写出解题过程，但解题所用的时间多少是客观存在的，解题的速度是考试成功的关键因素，由此可见科学的审题，从结论中找出转化的途径是何等重要！

策略三 引导审结构，学会找关联

数学题目的条件和结论很多都是以数式与图形的结构形式呈现的，其中往往隐含着某种特殊的关联性，对于这类问题，在审题时要引导学生认真审视题目中的数式与图形结构的关联，对数式或图形结构关联进行深入的分析，发现其中的联系，即可找到解决问题的突破口，问题即可迎刃而解．

例3 (2016年江苏省泰州市中考压轴题)已知两个二次函数y1=x2+bx+c和y2=x2+m.对于函数y1，当x=2时，该函数取最小值.

(1)求b的值；

(2)若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；

(3)若函数y1、y2的图象都经过点(1，-2)，过点(0，a-3)(a为实数)，作x轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4，且x1

图1

教学分析 对于第(3)题，学生一般是从二次函数与一元二次方程的关系来寻找解题思路的，这也是评分标准给出的答案.其实，通过对题目中有关数式和图象结构的分析，可以得到更为简捷地创新解法.在教学中，可先引导学生对代数式x4-x3+x2-x1进行结构分析：直线y=a-3对应交函数y1、y2的图象于点C、D、E、F.如图1，当a>1时，CD=x2-x1，EF=x4-x3；当0

函数y1、y2的图象都经过点(1，-2)，∴c=1，m=-3，∴y1=x2-4x+1，y2=x2-3.

画出y1、y2的大致图象如图1. 可知y1可以由y2向右平移2个单位得到，又∵x11时，CD=x2-x1=2，EF=x4-x3=2，∴x4-x3+x2-x1=4；②当00，∴4-2DE<4，即x4-x3+x2-x1<4.∴综上所述，x4-x3+x2-x1的最大值为4.

教学反思 本题初看上去是一道普通的二次函数与一元二次方程关系的问题，很多学生会按照一般方法来求解，只要基本功扎实，也能得到正确的答案．这里通过认真审题，引导学生分析数式和图象结构之间的关联，发现其联系，在此基础上，利用数形结合思想，先画出两条二次函数图象的草图，发现两个二次函数的图象可通过左右平移2个单位得到，再分两种情况分别将关于4个交点横坐标的代数式x4-x3+x2-x1转化为线段的和差，然后利用平移的距离巧妙地得到有关线段的长度，结合线段的非负性，即可得到x4-x3+x2-x1的值或取值范围，进而得到x4-x3+x2-x1的最大值.由此可见，在解题教学中要引导学生认真审视题目中数式或图形结构之间的关联，从全局的高度寻找不同的解题途径，进而挖掘出问题的创新解法，不断积淀创新思维.

策略四 引导审变换，学会找规律

数学中有不少图形变换问题，条件往往以图形的形式出现，或将条件隐含在图形之中，对于这类问题，在审题教学中，要引导学生认真研读题目中的关键词语，仔细观察图形的结构特征，发现图形中所蕴含的特殊关系、数值的相互联系、变化的总体趋势等，抓住这些特点，找出一般性的规律，运用数形结合的思想方法，即可发现破解的奥妙之处．

例4 (2015年广西壮族自治区南宁市中考题)如图2，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动3 个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是____.

图2

教学分析 这是最简单的图形变换——点的变换问题，在审题教学中要引导学生从点反复的移动中发现规律：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数为1-3=-2；第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为-2+6=4；第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4-9=-5；第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为-5+12=7；第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7-15=-8；…于是，A7表示的数为-8-3=-11，A9表示的数为-11-3=-14，A11表示的数为-14-3=-17，A13表示的数为-17-3=-20，…；A6表示的数为7+3=10，A8表示的数为10+3=13，A10表示的数为13+3=16，A12表示的数为16+3=19，….所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．

教学反思 本题初看上去很吓人，其实在教学中只要引导学生认真审题，分析这个点的变换特点，从特殊到一般地猜想出规律：序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3；序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3；再运用这种规律来解决问题，问题即可迎刃而解. 因此，对于这类问题，我们在审题教学中要重视引导学生从特殊到一般地发现规律，并会灵活运用发现的规律来解决问题.

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011版)[M]．北京：北京师范大学出版社，2012，1．

[2] 陈德前.帮你学审题[J]．初中生天地(七年级版)，2015，7-8.

[3] 孙志兵.数学审题的“着力点”及策略[J]．初中生学习指导，2015，7-8.

[4] 霍彩霞.如何进行审题[J]．初中生天地(七年级版)，2016，7-8.

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1008-0333(2016)35-0025-02