让思维贯通教学让学习真正发生——以“直线与圆的位置关系”高三复习课为例

谈雅琴

（江苏省梁丰高级中学 215600）

数学是强调思维的科学，培养学生的思维能力，是数学教育的重要目标之一，也是新课程标准的基本理念.如何有效培养学生的思维能力、提升数学核心素养，让思维贯通教学，让学习真正发生，是数学课堂教学研究的重要问题.

下面以笔者在江苏省第9届中学数学教学高级论坛上开设的一节高三复习公开课“直线与圆的位置关系”为例说明，授课班级是2013届徐州三中高三（6）班.贵刊2017年第1期“思维主导，彰显数学教学本色——基于直线与圆的位置关系的案例分析”一文中的教学片段2，即笔者公开课上的教学实录，笔者赞同该文作者的观点.

本节课的主要复习内容是直线与圆的位置关系及其判定方法，直线与圆中的定量分析（弦长、切线长、求切线方程等），初步研究有关最值问题.采取了导学案的形式，设计了一个基础训练题和三个例题，学生课前先思先做，笔者课前翻阅学生的导学案了解学情，并从中挑选出了典型，用于课堂上呈现给大家讨论.在技术的支持上，采用了实物投影，将学生在导学案上的书写，实时呈现在大家的面前，从学生的角度展开课堂活动，更贴近于学生，充分显示学生的主体性.

1 立足基础，注重能力导向的学习型课堂建设

首先，数学是需要基础的，缺乏基础的能力是脆弱的，缺乏基础的方法是脆弱的，缺乏基础的教学是脆弱的.在重视基础前提下的能力培养，才是真正意义上的发展能力的教学.在数学课堂上，必备知识和基础知识具有其特殊的意义，重视基础，才能更好的发展学生的能力.

本节高三复习课，从直线与圆位置关系的基础知识出发，设计了一个基础训练题（2012重庆理科改编）：直线m x-y+3=0与圆C：x2+y2=16的位置关系是………….

学生得出答案并不难.重点是要引导学生：你能想到几种判断的方法？笔者从学生课前导学案上已发现D-R法、Δ法、直线上定点（0，3）在圆内三种方法，课上进行了实物投影展示交流.并继续追问学生：直线与圆有哪些位置关系？如何判断它们的位置关系？

教师通过对学生解答的点评，引导学生从几何角度、代数角度、关注直线方程特征图形特点，来进行思考归纳，提炼出直线与圆的位置关系及其三种判断思维方法，这样的处理既来源于学生的既定思考，又层层递进，提升了学生的思维水平.

数学教学是数学思维活动的教学.接下来的例题设计，一是没有将重点放在运算上面，在导学案的设计上，以相同的背景设计多题，用相同的直线m x-y+3=0和圆x2+y2=16，分别考查了位置关系的判断、相交弦长问题等知识点，营造了一源多枝的生生不息的生态课堂.如此，学生不必每题都颇费周折去计算，而是重在思考问题的关键，优化了课堂结构，节省了课堂用时，使得学生可以将思维解放出来，在课堂上更好的实施探究，培养能力.二是从基本知识和方法出发，逐步引申拓展，重点放在直线与圆的相交和相切方面的定量分析（弦长、切线长、求切线方程等），初步研究有关最值问题.通过丰富的一题多解与变式训练，使得基础知识得到巩固，数学思想方法得以充分渗透，学生的探索能力得到进一步提升，在学生面前打开一扇更为丰富多彩的数学思维之窗.

2 立足互动，注重引发深度学习的课堂建设

所谓“深度学习”（deeper learning），是指在真实复杂的情境中，学生运用所学的本学科知识和跨学科知识，运用常规思维和非常规思维，将所学的知识和技能用于解决实际问题，以发展批判性思维、创新能力、合作精神和交往技能的认知策略.“深度学习”与传统的外部灌输、被动接受等“浅层学习”相比具有明显特征.比如，深度学习具有立足于真实情境的问题解决、侧重于高阶思维能力的学习评价、基于综合思维的整合性学习、突出深度思辨的思维指向等特征.

有挑战，有思辨，才有深度.课堂注重思维互动，可以促进深度学习，是培养学生思维能力的有效途径.

例题1（1）（2009江苏18改编）直线l：mx-y+3=0被圆C：x2+y2=16截得的弦长为，求直线l的方程.（2）（2009全国卷Ⅱ理科16改编）若AC和BD是圆C：x2+y2=16的两条相互垂直的弦，垂足为E（0，3），则四边形ABCD面积的最大值是………….

这是有关直线与圆的相交问题.对例1（2），学生普遍得到的答案有两种，和23.对不少学生出现的错解，课堂上没有置若罔闻，而是请学生说出该解的思维起点与过程，原来是通过合情推理，猜想运动中的一个特殊情况获得的.教师赞成其中合理的思维成分，比如直觉思维、合情推理，但是形缺数时少入微，结果是最大还是最小，并不能确定.之后教师请做对的同学展示直接做法，及时帮助学生摒弃不严谨的想法，有效避免类似问题的再现.

生1：①若kAC不存在，则，那么

②若kAC存在，则设lAC：y=k x+3，那么，

即k2=1即k=±1时等号成立，

故，四边形ABCD面积的最大值是23.

生2：①同生1，

当k=0时；

生3：作OM⊥BD，ON⊥AC，令OM=a，ON=b，则a2+b2=OE2=9，

即SABCD≤23，当且仅当a=b时，等号成立.

教师引导学生分析其中的处理细节，最后发现错解原来是最小值.在完成学习任务的过程中，学生不仅获得了正确结论，更重要的是产生了问题和质疑.通过分享、考证，解题之后的开放性思考，思维的火花反复碰撞.在课堂教学过程中，学生是思维的主体，教师是思维的主导，应避免教师单纯讲解、单向传授的模式，要展示师生思维过程和思考过程，进行充分的交流与真实的碰撞.教师科学合理的引导，学生合作互动交流，使得课堂思维活跃，教学方式灵动，知识的展示、方法的提炼和思想的挖掘，也更加地厚重精当.更加突出学生的主体性.

数学教学的一个重要目的是发展学生的数学思维.数学课堂教学的有效性和学习深度如何，主要体现在对学生产生的思维影响.深度教学应该是基于高质量问题的教学、基于思辨的教学、基于微探究的研究性教学.这样才有利于培养问题解决能力、批判性思维能力、深度分析的能力和创新能力.

3 立足创新，注重学科核心素养培养的课堂建设

2014年4月教育部印发《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，启动了以核心素养为指向的新一轮课程改革，研究制定了各学段学生发展的核心素养体系.就数学学科而言，研究表明，数学核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面.核心素养离不开知识和技能，但单纯的知识和技能又不等于素养，只有在复杂的开放性情境中，运用知识和技能解决实际问题，才是核心素养.学科教学活动是学科核心素养培养的主要途径.

例题2（2010江苏9）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是________.思考：你能改编该问题的条件，重新编几个题目吗？并尝试解答.

生：例2的处理，要先画个图，画圆和直线.

师：画哪条直线？

生：先画经过原点的直线12x-5y=0，这条直线符合题意.

师：怎么说明是符合的？能够找到这四个点吗？

生：可以，作与直线12x-5y=0距离为1的两条平行线，与圆的四个交点即是.

师：还有哪些直线是符合题意的？你怎么找？

生：把直线平移，因为对称，所以在一侧平移，看直线平移到哪里，开始不符合题意.

引导学生观察定圆与动直线的位置关系变化，利用图形的形象关系产生对数量关系的直接感知与认识，借助几何直观和空间想象，帮助理解题意解决问题.素养中的直观想象，在这里的表现形式有：利用图形描述数学问题、利用图形理解数学问题、利用图形探索问题.这正是核心素养之直观想象的教学方式体现.数学家徐利治提到“重视直观”，指出“只有当我能把直观含义和直观思路弄明白了，我才认为真正懂了”.

接下来没有对例题提出具体的变式给学生练习与纠错，而是抛出了较为灵活的问题：“你能改变问题的条件，重新编几个题目吗？”.当学生直接将条件的说法改变一下：“有且仅有3个点、2个点、1个点、0个点”，笔者并没有就此作罢，而是引导学生再去改直线和圆.比如学生改成动圆定直线，改编题如下：

1.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=r2上有且仅有四个点到直线12x-5y+39=0的距离为1，则半径r的取值范围是…………….

2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x-1）2+（y-2）2=r2上有且仅有四个点到直线12x-5y+39=0的距离为1，则半径r的取值范围是…………….

如此，学生的思维被发散，自信心被激活，通过生生交流、讨论，学生的探究热情被极大地激发，思维的广度与深度、直观想象和逻辑推理等学科素养得到了提高.

例题3（1）（必修2P102例2改编）自直线x-y+4=0上的点P（2，6）作圆C：x2+y2=4的切线，求切线方程，并求出切线长.（2）自直线x-y+4=0上任意一点P（x，y）作圆C：x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，以此为条件，有哪些问题可以研究？请你把问题编写完整，并尝试解答.

例3是组织学生编题的一个范例，组织学生从多角度编拟新题，让学生体会到编拟数学试题的思维乐趣.把命题的编制过程纳入到数学教学过程中，这是一个大胆创新，对高考数学复习具有特殊的现实意义，也是数学思维教学方式的有益尝试.

一个好的问题能激发学生的思维进阶.学生思维发展的一个重要标志，是能够自主提出有意义有效的问题.“以此为条件，你认为有哪些问题可以研究？”的提出，为学生的思维打开了一扇更广阔的大门.学生的思维发散开来，他们要对已知信息进行多方向、多角度的思考，不局限于既定的理解，从而提出新问题，探索新知识或发现多种结果.学生要回答这样的问题，便要深入思考，调动他的一切经验与认知，提出新的问题，这比解题的思维层次更高.当学生的问题浅显时，教师引导学生从其他的角度再想一想，引领学生站在一定的高度上看问题.在教师的引领下，学生提出了以下很好的问题：

（1）求切线PA长的最小值；（2）求四边形PAOB的面积的最值；（3）求AB中点的轨迹；（4）求AB的方程（切点弦）；（5）求∠APB的最大值；（6）求的最值；（7）求△PAB的外接圆的方程……

一个完整的数学思维过程是集中思维和发散思维这两种思维方式的有机结合.在学生提出问题后，教师又引导学生逐个解决问题，这是在发散之后的集中，利于拓广和发现数学知识与数学方法，生成各种知识链、方法链、命题链、思维链，培养学生的创造性思维能力和逻辑推理素养.在解决问题的过程中，又有新的问题被提出和解决，下课的铃声虽已响起，但研究的热情还在继续膨胀，思维还在继续，学习还在进行.

数学的核心是问题和解，完整的数学学习应包括学“问”与“答”两方面，数学教学应把发展学生的问题意识和提出问题能力，作为数学教学的重要目标与学生学习数学的重要方法.教师创设探讨情境、精心设计问题、引导学生分析问题、提出问题，有助于学生深刻理解数学知识方法之间的内在联系，明确思维方向，发展思维能力.

数学课堂要坚持立足基础，注重能力导向；立足互动，注重引发深度学习；立足创新，注重学科核心素养培养.这样，有助于变被动学习为主动学习，真正实现自主、合作、探究的深度学习方式的转变，让思维贯通课堂教学，真正促进核心素养的培养.

附：导学案简案

【教学目标】

1.复习直线与圆的位置关系及其判定方法、直线与圆中的定量分析（弦长、切线长、求切线方程等），初步研究有关最值问题.

2.在问题情景中，感受“数”和“形”的对立统一，理解运用代数方法研究几何问题这一解析法的本质，同时体现灵活运用圆这个图形的几何特征.渗透函数与方程的思想、数形结合的思想、转化化归的思想.

3.引导学生独立思考、合作交流，鼓励学生提出问题，帮助学生提高学习数学的兴趣和信心，培养学生的思维和创新意识.

【教学内容】

一、判断位置关系

基础训练（2012重庆理科 改编）直线m x-y+3=0与圆C：x2+y2=16的位置关系是__________.

你能想到几种判断的方法？请你都写下来.

思考：直线与圆有哪些位置关系？如何判断直线与圆的位置关系？

二、有关相交问题

例题1 （1）（2009江苏18改编）直线l：mx-y+3=0被圆C：x2+y2=16截得的弦长为，求直线l的方程.

（2）（2009全国卷Ⅱ理科16改编）若AC和BD是圆C：x2+y2=16的两条相互垂直的弦，垂足为E（0，3），则四边形ABCD面积的最大值是…………….

例题2 （2010江苏9）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是…………….

思考：你能改编该问题的条件，重新编几个题目吗？并尝试解答.

三、有关相切问题

例题3 （1）（必修2 P102例2改编）自直线x-y+4=0上的点P（2，6）作圆C：x2+y2=4的切线，求切线方程，并求出切线长.

（2）自直线x-y+4=0上任意一点P（x，y）作圆C：x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，以此为条件，有哪些问题可以研究？请你把问题编写完整，并尝试解答.