交错群与旗传递点本原非对称2-(v,k,3)设计

王贝军,梁洪雪,周胜林

(华南理工大学数学学院,广东 广州 510640)

交错群与旗传递点本原非对称2-(v,k,3)设计

王贝军,梁洪雪,周胜林

(华南理工大学数学学院,广东 广州 510640)

受旗传递2-(v,k,3)对称设计和非对称2-(v,k,2)设计有关分类结果的启发,本论文继续研究旗传递非对称2-(v,k,3)设计.文章利用置换群的理论和组合设计的数量性质,借助计算机代数软件Gap和Magma,完全分类了自同构群G旗传递点本原,且基柱Soc(G)为交错群An(n≥5)的非对称2-(v,k,3)设计,证明了此类设计只能是唯一的2-(5,3,3)设计,且G=A5或S5.

非对称2-设计;自同构群;旗传递;点本原;交错群

1 引言

一个2-(v,k,λ)设计D为满足下列条件的一对符号(P,B)：

(1)P是v个元素的集合,P中元素称为点;

(2)B是P的b个k-子集的集合,B中元素称为区组;

(3)P中任意给定的2-元子集都恰好包含在B的λ个区中.

这里我们总假定以上所有的参数皆为正整数且v＞k≥3.

若设计D的点集P上的一个置换可以诱导出区组集合B上的一个置换,则称其为D的一个自同构.D的所有自同构的集合关于映射的合成运算构成一个群,称为D的全自同构群,记为Aut(D).若G≤Aut(D),则称G为D的一个自同构群.若对任意α,β∈P,存在g∈G,使得αg=β,则称G或D是点传递的;若G在P上是本原的,则称G或D点本原的;若G在旗的集合F={(α,B)|α∈B,B∈B}上传递,则称G或D是旗传递的.若2＜k＜v-1,则设计D为非平凡的.对于2-(v,k,λ)设计来说,总有b≥v.如果b=v(等价地r=k,这里r表示过一个给定点的区组数目),那么称D为对称设计;如果b＞v,那么称D为非对称设计.

利用O’Nan-Scott定理[1],Regueiro[2]证明了2-(v,k,3)对称设计的旗传递点本原自同构群是仿射的或是几乎单的.随后,董会莉和周胜林在文献[3-7]中几乎完全分类了此类设计.特别地,文献[7]中证明了：如果D是一个非平凡的三平面,G≤Aut(D)是旗传递点本原的且Soc(G)=An,那么D=PG2(3,2)且G=A7或A8.

而对于非对称的2-设计,文献[8]证明了旗传递点本原且Soc(G)=An的非对称2-(v,k,2)设计只能是2-(6,3,2)或2-(10,4,2)设计.

受到以上文章的启发,本文对旗传递点本原且Soc(G)=An的非对称2-(v,k,3)设计D进行研究,得出以下主要结论：

定理 1.1设D是一个非平凡非对称的2-(v,k,3)设计,如果G≤Aut(D)是旗传递点本原的,Soc(G)=An(n≥5),则D是一个2-(5,3,3)设计且G=A5或S5.

2 准备知识

下面给出设计及其自同构群的一些基本知识.

引理2.1若D是一个非对称的2-(v,k,λ)设计,则

(1)vr=bk;

但这并不意味着龙套就不重要，更不是可有可无。将主角与龙套的关系比喻为红花与绿叶，很有道理。红花固然鲜艳夺目，如果少了绿叶扶持，赤裸裸的红花不仅显得形单影只，甚至给人流水飘零的感觉。陪伴的绿叶如果缺乏精气神，耷拉着、萎缩着，也给人花期将尽之感；绿叶春意盎然，红花才能显示勃勃生机。

(2)λ(v-1)=r(k-1);

(3)b＞v,k＜r.

引理2.2[8]设D是一个非平凡的2-(v,k,λ)设计.若G≤Aut(D)是旗传递点本原的,则(1)r2＞λv且|Gx|3＞λ|G|,其中Gx是点x的稳定化子;

(2)r|λ(v-1,|Gx|);

(3)r|λd,其中d为G的任一非平凡次级数.

再给出下述几个有用的不等式.

引理2.3设s,t均为正整数.

3 定理1.1的证明

在下文中,(G,D)总是满足下述的假设3.1.

表1 当s=2时d的取值

表2 当3≤s≤7时n的取值

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Alternating groups and flag-transitive point-primitive non-symmetric 2-(v,k,3)designs

Wang Beijun,Liang Hongxue,Zhou Shenglin
(School of Mathematics,South China University of Technology,Guang′zhou 510640,China)

Motivated by the classification of flag-transitive 2-(v,k,3)symmetric designs and non-symmetric 2-(v,k,2)designs,this paper continue to study flag-transitive non-symmetric 2-(v,k,3)designs.We completely classify all flag-transitive point-primitive non-symmetric 2-(v,k,3)designs with alternating socle An(n≥5)by applying the theory of permutation groups,arithmetic properties of designs and the computer algebraic systems GAP and Magma,and show that there exists a unique 2-(5,3,3)design with G=A5or S5.

nonsymmetric 2-design,flag-transitive,point-primitive,alternating group

O157.1

A

1008-5513(2016)06-0649-12

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.06.011

2016-07-31.

国家自然科学基金(11471123)

王贝军(1990-),硕士生,研究方向：群与组合设计.

2010 MSC:05B05,05B25,20B25