G-锥度量空间中压缩映射的不动点定理

蒋丽东,薛西锋

(西北大学数学学院,陕西 西安 710127)

G-锥度量空间中压缩映射的不动点定理

蒋丽东,薛西锋

(西北大学数学学院,陕西 西安 710127)

给出了G-锥度量空间的概念,利用迭代法探究了G-锥度量空间中压缩映射不动点定理,证明了在G-锥度量空间中锥没有正规性的条件下压缩映射存在唯一不动点.

G-锥度量空间;压缩映射;不动点定理

1 引言

2005年Mustafa Z,Sims B在文献[1]提出了G-度量空间的概念,它是度量空间的一种推广,G-度量空间的理论已经有了较大的发展,尤其是在G-度量空间中的不动点理论方面,已取得许多重要的研究成果.2007年文献[2]中用序巴拿赫空间取代实数,推广了度量空间,引入了锥度量空间,并在锥的正规性条件下证明了压缩映射不动点定理,有关锥度量空间中压缩映射不动点理论也有较大发展.2010年文献[3]中提出了G-锥度量空间的概念,推广了G-度量空间与锥度量空间.本文在G-锥度量空间中,不要求锥具有正规性的条件下,研究了压缩映射不动点的存在性问题,获得了两个新的不动点定理,推广和改进了前人的相关结果.

2 预备知识

定义2.1[2]设E是实巴拿赫空间,P是E中的子集，如果P满足：

(1)P是非空闭集,P/{θ};

(2)λ∈R,λ≥0,x∈P,可得λx∈P;

(3)P∩-P={θ}.

则称P是E中的一个锥.

定义2.2[3]设X是非空集,假设映射G：X×X×X→E,满足：

(1)∀x,y,z∈X,G(x,y,z)=0⇔x=y=z;

(2)∀x,y∈X,当x≠y时,G(x,x,y)＞0;

(3)∀x,y,z∈X,当y≠z时,G(x,x,y)≤G(x,y,z);

(4)∀x,y,z∈X,G(x,y,z)=G(x,z,y)=G(y,x,z)=···(关于这三个元素满足对称关系);

(5)∀x,y,z,a∈X,G(x,y,z)≤G(x,a,a)+G(a,y,z).

则称G为X上的一个广义锥度量,称(X,G)为G-锥度量空间.

定义2.3[1]设X是一个G-锥度量空间,{xn}⊂X,

(1)∀c∈E且c≫θ,存在正数N,当∀m,n,l＞N,有G(xm,xn,xl)≪c,则称{xn}为X中的Cauchy列;

(2)∀c∈E且c≫θ,存在正数N,当∀m,n＞N,有G(xm,xn,x)≪c,则称{xn}为X中的收敛列;其中x为X中的一个不动点,称序列{xn}G-收敛于x.

如果X中每个Cauchy列在X中都是收敛的,则称G-锥度量空间是完备的.

引理2.1[3]设(X,G)为G-锥度量空间,则以下结果等价：

引理2.2[3]设(X,G)为G-锥度量空间,∀x,y,z,a∈X,有以下结论成立

3 主要结果及其证明

定理3.1设(X,G)是完备的G-锥度量空间,设映射T：X→X,∀x,y,z∈X.满足条件：

其中

则T在X中存在唯一不动点.

定理3.2设(X,G)是完备的G-锥度量空间,设映射T：X→X,∀x,y,z∈X.满足条件：

参考文献

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Fixed point theorems of contraction mapping in G-cone metric spaces

Jiang Lidong,Xue Xifeng
(College of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127,China)

This paper introduces the concept of G-cone metric spaces,by using iterative method we explore some fixed point theorems of contraction mapping in G-cone metric spaces,and obtain some new fixed point theorems for the contractive mapping in G-cone metric spaces without the assumption normality.

G-cone metric spaces,the contractive mapping,fixed point theorems

O177.91

A

1008-5513(2016)06-0618-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.06.007

2016-07-15.

陕西省自然科学基金(2012JM1017).

蒋丽东(1992-),硕士,研究方向：非线性泛函分析.

薛西锋(1961-),博士,教授,研究方向：非线性泛函分析.

2010 MSC:47H10