例说中学数学原理教学的基本要素

周波+余启友

【摘要】本文以《点斜式直线方程》教学为例，挖掘数学原理的形成过程，促进知识结构的系统建构和认知结构的形成。通过教学回顾、教学反思和文献梳理等方面，试图论述数学原理教学的基本要素。

【关键词】直线方程 原理课 教学

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）31-0123-02

数学原理课作为知识形成的基本课型之一，在中学数学教学中占据重要地位。但在数学原理课教学上，我们常常见到的是“三板斧”式教学。即先对原理进行简单的介绍或证明，随后迅速进入原理的运用环节上，最后就是课堂练习。将数学原理课上成了一节数学习题课。究其原因，在于教师只看重对原理本身的证明及结论的掌握运用，却忽视原理发生发展的来龙去脉和形成过程，忽视学生发现意识和合理猜想意识的培养，导致学生对数学原理课的学习与掌握产生畏惧心理，长此以往将不利于学生数学素养的形成。

本文以《点斜式直线方程》教学为例，力求改变传统数学教学片面追求结果的弊病，挖掘原理的形成过程，促进知识结构的系统建构和认知结构的形成。通过教学回顾、教学反思和文献梳理等方面，试图论述数学原理教学的基本要素。

一、教学回顾

1.问题引入，激发兴趣

问题：如图所示，直线l过点 A（-1，3）且斜率为-2，点B（1.1，-1.21）在直线l上吗？

意图：通过图像是没有办法判断直线与点的位置关系的，因此应该借助坐标与方程来判断，由此反映出学习直线方程的必要性。

2.特殊入手，猜想原理

问题：已知直线l过点A（-1，3）且斜率为-2，问直线l上的点P应满足什么条件？

意图：借助几何画板课件，引导学生观察思考，在点P的运动过程中，始终不变的量是什么？进而引导学生进行代数表示。揭示坐标法的思想，重点放在直线与方程的一一对应关系上。

3.原理证明，方程命名

问题1：已知直线l过点P0（x0，y0）且斜率为k，问直线l上的点P应满足什么条件？

意图1：引导学生揭示直线与方程的同构关系。引导学生来命名，概括出点斜式方程的定义，突出确定直线的两个要素：点与斜率。

问题2：平面直角坐标系中，过一点的直线中有哪些特殊情况？它们都能表示成直线的点斜式方程吗？

意图2：概括总结（1）与x轴平行或重合的直线（斜率为0）：方程 y=y0；（2）与y轴平行或重合的直线（斜率不存在）：方程 x=x0； 并进一步获得截距及斜截式方程的概念。

4.原理应用，巩固提升

例1：求下列直线的方程

（1）一条直线经过点P（-2，3），倾斜角α=45°；

（2）一条直线经过点A（0，2），且与直线y=3x+1垂直。

例2：已知直线l1：y1 = k1 x+ b1，l2：y2 = k2 x + b2.试讨论：

（1）l1∥l2的条件是什么？ （2）l1⊥l2的条件是什么？

意图：点斜式方程的简单应用，培养学生学会独立思考解决问题能力，渗透解析法和数形结合思想。

5.归纳总结，结构认知

（1）知识结构

（2）方法结构

①坐标法。通过建立直角坐标系，根据题意将直线上动点坐标（x，y）所满足的等量关系表示出来。坐标法求轨迹的思想不仅对直线方程与方程直线给出解释，更对后续的求曲线方程问题提供了思路与方法。

②数形结合思想。通过直角坐标系，把直线图形的几何直观与直线方程的代数运算有机结合，实现了运用代数的方法来研究几何问题。

意图：通过结构化总结与梳理，帮助学生将新学内容纳入已有的认识结构，为后续学习奠定基础。

二、教学反思

1.何种方式引入，教学上不能太突兀或呈现跳跃式引入方式。以本节课为例，什么叫直线的方程？什么叫方程的直线？在本节课之前，学生并没有这方面认识，问题一开始时的设置是“给定一个点和斜率，如何求直线l的方程？”如此问题设置导致大部分学生学生不知道如何下手解决，主要原因便是学生还不知道直线方程的含义。后改成“求直线上点满足的条件，于是可以从几何上解释—都在同一条直线上，也可以从代数上说明—点的坐标满足什么条件，从而可以进一步说明坐标法的思想：用代数方程表示几何直线，由此才进一步提出问题：方程与直线能互相表示吗？这样，他们之间的关系就水到渠成了。

2.知识原理不是无端生成的，为促进新原理的学习，就要激活学生原有的知识与经验。比如，坐标系下两点的斜率公式表示？两点确定一条直线，如果异于两点的第三点P也在直线上，那么它满足的代数条件是什么？等等是学习新原理的必要知识。

3.本节教学结构是什么？本节课核心任务是对直线方程和方程直线的探究发现过程。重难点是直线上的点与方程的解的同构关系，以及对直线的点斜式方程的探索和运用过程。而核心任务的完成，是通过学生自主及合作来完成的。通过特殊—一般—特殊的教学过程来归纳原理并运用原理。这是本节的教学结构，那么对一般的原理课的教学结构又该是怎样的？

三、教学原理

通过知网搜索了相关文献，并阅读了福建省普教室课题成果《福建省中学数学新授课课堂教学基本规范》，以及厦门市教科院编写材料《原理课核心任务及其教学定位》。梳理以上相关理论后，下面尝试论述原理教学的基本要素。

1.数学原理课的定义

数学原理包括数学公理、定理、公式、性质和法则等。数学原理既是数学概念及其关系认识的深化，又是联系概念和问题的桥梁。数学原理课应通过学生的学习活动，进一步了解知识之间的内在联系及其演绎规律，掌握数学知识之间所存在某些定律或联系法则。让学生准确地掌握数学原理的条件部分和结论部分，了解公式、定理中诸条件的性质和作用，掌握原理变形的各种形式。

例如，本节课学习是对直线方程与方程直线的首次认识与接逐步了解直线方程与方程直线的内在联系，从而准确把握对数学原理的理解。

2.原理课的基本要素

（1）数学原理的内容：数学原理的内容表述可以是多种形式，无论是哪一种形式都必须表达规范，对原理的叙述要准确。

（2）数学原理的结构：要求分清条件和结论。在进行原理教学时，要重视指导学生区分原理的条件与结论，体现数学原理与原有知识结构之间的逻辑联系。

（3）数学原理的论证：数学原理的论证要引导学生探索由条件到结论转化的推理思路。还要注意原理转换时的等价性，引导学生在证明过程中如何进行原理的转换，一定要展示完整的思维过程。

（4）数学原理的应用：通过例题和习题让学生领会原理的适用范围、应用的基本规律和注意事项。根据高中数学原理学习的内容、方式和学习过程。

3.原理课的教学结构

（1）基本流程

如本节课的教学设计流程为：1.问题引入，激发兴趣 ；2.特殊入手，猜想原理； 3.原理证明，方程命名； 4.原理应用，巩固提升； 5.归纳总结，结构认知等。

（2）教学结构

数学原理的教学一般有几种不同的教学过程结构：第一种是实验研究型的教学过程结构，如本节教学；第二种是枚举研究型的教学过程结构，如分类与分步计数原理教学；第三种是推理研究的教学过程结构，如空间几何中线面平行，线面垂直的定理教学；第四种是分类研究和推理研究相结合的教学过程结构，如正弦定理和余弦定理的教学。

关于中学数学原理教学，以上只是我们的一点初浅认识，期待同仁们更深入的理论与实践研究，只有在平时教学中注意引导学生了解和把握数学原理的形成过程结构，注重培养学生的结构性整体思维，学生才会在以后的数学学习中主动迁移，才能有效培养学生的数学核心素养。

参考文献：

[1]郭秀清.中学数学教学的课型及对策[J].保山师专学报，2009（5）

[2]吴亚萍.中小学数学教学课型研究[M].福州：福建教育出版社 2014.10

[3]普通高中课程标准实验教科书数学2（A版）[M].北京：人民教育出版社2014.5

[4]普通高中课程标准实验教科书数学2教师教学用书（A版）[M].北京：人民教育出版社2014.5