线性规划问题一线牵

刘运明

纵观近几年的高考试题，线性规划问题已逐步成为高考的一个新热点。它以其实用性、工具性和交互性，备受人们的青睐，命题形式呈循“型”渐进式发展，从单一的、静态的线性规划发展到较全面的、动态的线性规划，体现从知识立意到能力立意的变化，从重计算到重思考的变化，涌现出一些综合性、探索性、开放性等新型试题，分散在诸多相关知识考查中，且呈现出整合的趋势。本文从以下几方面例析近几年高考中线性规划的命题趋势。

一、一线牵引出线性目标函数的最值

1.静态可行域下形如z=ax+by+c截距型线性目标函数的最值

例1（2015年湖南卷）若变量x，y满足约束条件则z=3x-y 的最小值为（  ）

解析：作出可行域（图略），作直线l：3x-y=0，平移直线l利用数形结合法求最值。答案：选A

命题点睛  要求考生理解目标函数的意义：把z=3x-y看作一条“动直线”l，观察其位置，从而确定目标函数取得最值时所经过的点。动中有静，动直线l牵引出最优解（定点），从而得到z的最小值。

2.动态可行域下形如z=ax+by+c 截距型线性目标函数最值的逆向问题

例2 （2015年福建卷）变量x，y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2，则实数m 等于（     ）

A、-2 B、-1

C、1 D、2

图1

解析  将目标函数看作动直线l：2x-z=0，当z取最大值时，动直线l纵截距最小。故当m≤0时，不满足题意;当m>0时，由可行域如图1所示，其中 是最优解，代入目标函数得：，得m=1。故选C。

命题点睛  以动制静，动直线l的位置与参数m的符号相互制约，由两条动直线l：y=2x-z与l1：y=mx牵引出定点B最优解。解含参数的线性规划问题，要善于从已知的可行域（动态区域）中找出不变的（静态）区域。困难在于对参数m的符号讨论，以确定可行域，往往还要将动直线l的斜率和可行域边界的斜率比较，否则找出最优解很容易出错。思维从静态到动态模式跳跃式开放性发展，更能考查学生的创新应用能力。

二、一线牵引出非线性目标函数的最值

1.斜率型

例3  （2015年全国卷）  若x，y 满足约束条件 则的最大值为          。

解析  作出可行域（图略），由斜率的意义知是可行域内的动点P（x，y）与原点连线的斜率。答案：3

命题点睛  形如型的目标函数，其表示可行域内的动点P（x，y）与定点M（a，b）连线的斜率。将直线PM绕点M旋转，且确保动点P在可行域内，这样由动点与定点的连线牵引出斜率的取值范围。

2.距离型：点点距、点线距

例4  （2016年山东卷）  若变量x，y满足 则x2+y2的最大值是（      ）

A、4 B、9

C、10 D、12

解析x2+y2表示可行域内的动点（x，y）到原点O（0，0）距离的平方，可得x2+y2的最大值为10。故选C。

命题点睛  点点距离型实质就是动点与定点连线的长度。

变式探究1（点线距）：（2016年浙江卷文·4改编）

若平面区域

（1） 的最大值是           。

（2）的最大值是             。

答案：（1）（2）

3.向量数量积型（夹角型、投影型）

例5  （2016年浙江卷）  在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影。由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|（      ）。

A、 B、4

C、 D、6

答案：C

变式拓展2：（夹角型、投影型）   已知点A（3，1），O为坐标原点，点P（x，y）满足则

（1） 的最小值是               。

（2） 的最大值是             。

（3） 的取值范围是              。

解析  如图2所示，（1）

当且仅当与 反向时，取等号;

（2）的最大值即在方向上的投影，为

（3）的最小值即在方向上的投影，为

其最大值即与共线时在方向上的投影，为，所以其取值范围是

命题点睛  （1）中抓住定向量与动向量的夹角;（2）中抓住动线段OP在一条定直线OA上的投影;（3）与（2）正好反之。

图2

4.直线与圆锥曲线相关位置型

图3

例6  （2016年山东卷文·4改编）  设x，y满足约束条件若Z=x2+4y2，则Z的取值范围是         。

解析Z=x2+4y2表示中心在坐标

原点，焦点在x 轴上的椭圆，当此椭圆与直线x+y=1相切时，Z=x2+4y2最小，

由 得5y2-2y+1=0 ，由Δ=0

得 为最小值;当此椭圆过点 时，为最大值，故所求范围是

图4

命题点睛  圆锥曲线（动曲线）与一条定直线（或定点）的位置关系牵引出z的取值范围，此题型新颖别致，赏心悦目，耐人寻味。

变式拓展3  设变量x，y满足约束条件

其中k∈R，k>0.

若的最大值为1，则实数k的取值范围是           。

提示：设，则，要使m最大，则只要使抛物线的通径最小。当的最大值为1时，此时抛物线方程为y=x2。因为直线y-1=k（x-1）过定点C（1，1），当直线y-1=k（x-1）与抛物线y=x2相切于点 C（1，1）时k最大，由y?=2x，即k=2×1=2，故得0<k≤2。

常言道：有缘千里来相会，千里良缘一线牵。线性规划问题依靠的就是一条“线”（动直线或动曲线）牵引出诸多数学知识之间的“良缘”，它们友好嫁接，精心编织成各模块知识之间的网络，最终喜结“良缘”。笔者认为，线性规划由常规题型向非常规题型转变，其触角延伸到数列、三角、向量、及解几中，甚至波及到概率与统计等其它方面，这也许是今后高考命题的趋势所在，我们拭目以待。