浅析“月上柳梢头”的数学模型

张晓彦

(山西水利职业技术学院，山西 运城 044004)



浅析“月上柳梢头”的数学模型

张晓彦

(山西水利职业技术学院，山西 运城 044004)

首先给出定义，说明出现“月上柳梢头，人约黄昏后”这一情景的自然条件，由公式T=0.8R+6，粗略计算农历十五月出时间，通过简单的几何论证，建立数学模型得函数关系式，计算得日落时间(地方太阳时).根据给出的黄昏的定义，推算日落时间，进而验证模型的合理性.

赤纬角；晨昏线；昼弧；三角函数

1 模型假设

1)太阳照射地球的光线为一组平行线；

2)地球上人的身高，柳树的高度不计，看作一点；

3)地球为一球体，地球公转轨道形状为正圆，公转速度匀速；

4)地球自转速度：360°÷24=15°/h；

5)大气折光作用和太阳视半径忽略不计.

2 相关定义

晨昏线：指地球上昼半球和夜半球之间的分界线，是地球的大圆圈.

赤纬角：赤纬角又称太阳赤纬，是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角.赤纬角是由于地球绕太阳运行造成的现象，它随时间而变，因为地轴方向不变，所以赤纬角随地球在运行轨道上的不同点具有不同的数值.赤纬角以年为周期，在+23°27′与-23°27′的范围内移动，成为季节的标志.

时差:指的是地方时的差异，是两地的经度的地方时的差，太阳直射的经线地方时为正午12点.

地方太阳时:符合当地经度的时间.不同经度的地方，太阳升起落下有先有后.

北京时间作为我国的标准时间，是东经120度的地方太阳时.120经线贯穿了我国东部沿海的省市.

3 符号说明

1)A，B，C，D是位于同一纬度的四个点，纬度角为γ；

2)由A，B，C，D所成平面与地轴交于点G；

3)NS为地轴线，O为地心；

4)弧BCD为昼弧，弧DAB为夜弧；

5)BDF为晨昏线，晨昏线所在平面与ABCD面相交，BD为交线，E为BD中点；

6)赤纬角为β；

7)晨昏线所在平面与地轴夹角为，且θ=β；

8)∠BOC为昼弧的一半所对的圆心角，记为γ；

9)T:月出时间(地方太阳时)；

10)Y:阴历日期；

11)地球半径为R.

4 模型建立

4.1 月出时间确定

“月上柳梢头”是指月亮从东方地平线升起，上升至与地面成15°夹角的东南方天空为月上柳梢头；“黄昏”是指太阳落山到天黑之前的一段时间，我们认为日落后大约50 min;月亮本身不发光，也不透明，我们见到的月光其实是太阳的反射光.由于月球绕地球运动，使太阳、地球、月球三者相对位置在一个月中有规律的变动.

当阴历十五，满月时，由T=0.8Y+6，

得T=18：00时,即月出时间为18:00时,地球自转(自西向东)一周是24小时，则每小时自转

360°÷24=15°

而我们定义“月上柳梢头”是指月出后上升到与地面15°夹角的位置，即自18:00时月出后延迟1小时，我们认为“月上柳梢头”的时间为19:00时(地方太阳时).

4.2 日落时间确定

日落是指太阳徐徐降下至西方的地平线下的过程，即夕阳时分，而确实的定义为日面完全没入地平线下的时间.日落的时间会随着季节及各地方纬度的不同而改变.下面我们来讨论不同纬度和赤纬角对日落时间的影响.

图1 纬度与日落时间的关系

设A,B,C,D是位于同一纬度的四个点，纬度角为α.由A,B,C,D所成平面与地轴交于点G，太阳赤纬角为β.NS为地轴线，O为地心.弧BCD为昼弧，弧DAB为夜弧，弧BHDF为晨昏线，晨昏线所在平面过地心O，与ABCD平面交于BD,E为BD的中点.平面BHDF与地轴夹角为θ，且∠θ=∠β，∠BGC为昼弧的一半所对的圆心角，记为γ.见图1.

在直角三角形BEG中，∠BEG=90°，设∠BGE为δ

设地球半径为R，BG=AG=Rcosα

在直角三角形AOG中，OG=Rsinα

在直角三角形EOG中，EG=OGtanθ=OGtanβ=Rsinαtanβ

cos(180°-γ)=cosδ=tanxtanβ.

5 模型检验

前面提到“月上柳梢头，人约黄昏后”我们认为是“满月”时间，即指太阳、地球、月亮在同一直线，且太阳和月亮分别在地球两边.欧阳修《生查子》词作是其在峡州夷陵(今湖北宜昌)所作，故我们以宜昌为例计算2015年正月十五(2015年3月5日)的日落时间.

湖北宜昌：经度(111.28),纬度(30.70);

因赤纬值日变化很小，一年内任何一天的赤纬角可用下式计算：

β=23.45°×sin[(n-80.25)×(1-n/9 500)]

式中为日数，自1月1日开始计算.

当α=30.70°,n=64时，日落时间t=18.4 h，即18时24分(地方太阳时).

北京经度：116.38，经度差：116.38-111.28=5.1

因为时间差与经度有关，经计算得宜昌当地时间与北京时间相差20分，所以宜昌日落用北京时间表示为18时44分，而通过查询资料宜昌在2015年正月十五(2015年3月5日)实际日落时间为18时36分，在我们允许的误差范围内，该模型具有可行性.

通过以上模型，日落时间(地方太阳时)为18时24分，向后延迟50分钟至19时14分，就是我们定义的黄昏，前面我们已经讨论“月上柳梢头”的时间为19时，所以符合“月上柳梢头，人约黄昏后”这一情景.

该模型充分考虑了月亮、地球、太阳之间的关系，利用天文学知识近似求出月出日落时间，将抽象的诗句通过天文学知识数学化，建立简单的数学模型，通过图形、表格给人以直观的感觉，不足的是对某些情形作了很多假设，导致计算结果与实际数据有些误差.

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[6] 陈晓勇,郑科科.对建筑日照计算中太阳赤纬角公式的探讨.浙江建筑，2011(9):12-14

On "Liu Shao on the Head," the Mathematical Model

ZHANG Xiaoyan

(Shanxi Conservancy Technical University, Yuncheng 044004, China)

Firstly, the definition, description appears "month on the willow, after Renyuehuanghun" This scenario natural conditions by the equationT=0.8R+6, a rough calculation Lunar New Year 15 Moonrise, by simple geometric argument, a mathematical model was functional relationship, calculated sunset time(local solar time). According to the definition given in the evening, the projected sunset times, and then verify that the model is reasonable.

declination angle; twilight line; day arc; trigonometric

2016-03-25

张晓彦(1980-)，女，河北宣化人，硕士，山西水利职业技术学院讲师，主要从事微分几何方向研究.

1672-2027(2016)02-0034-03

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