一类三种群捕食系统全局渐近稳定性

李玉霞

(山西农业大学 信息学院,山西 太谷 030800)



一类三种群捕食系统全局渐近稳定性

李玉霞

(山西农业大学 信息学院,山西 太谷 030800)

研究了一类非自治具有时滞的三种群系统,并且通过构造Lyapunov泛函得到了该系统全局渐近稳定的充分条件.

全局渐近稳定;非自治;时滞;种群;捕食

0 引言

近几十年来,生物数学发展迅速,随着科技的发展,这门年轻的学科越来越得到重视.其中,种群群落的全局渐近稳定性是该学科研究比较集中、文献众多的课题之一.由于非线性的功能反应,捕食-被食系统是非常有趣和复杂的动力行为模型.其中Holling Ⅱ类型的功能反应函数模型为一类常见的模型函数.此外,时滞是影响系统动态特性重要因素,鉴于时滞在系统中的普遍存在性,且是系统不稳定的因素,因此研究时滞系统有重要的理论意义.在本文章中,给出的模型都是系数关于时间t的,也就是非自治的系统模型.

这里,我们考虑如下模型

(1)

其中,x1(t),x2(t),x3(t)分别表示三个种群的种群数量;x2捕食x1,x3捕食x2.系数ai(t),ci(t),ki(t),fi(t) (i=1,2,3);b1(t)均为连续有界的正函数;τ1,τ2>0表示常数时滞.系统(1)满足如下初始条件

x1(θ)=φ1(θ),x2(θ)=φ2(θ),x3(θ)=φ3(θ), (0≤θ≤τ)

(2)

文中,对于任意有界函数f(t),我们记fl=inft≥0f(t),fu=supt≥0f(t).

1 全局渐近稳定性

引理1 设x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))表示系统(1)满足初始条件(2)的任意一个解,如果系统(1)满足条件:

其中,记m=min(m1,m2,m3),M=max(M1,M2,M3)

α2λ1(t+τ1)+α3λ2(t+τ2);

证明 设x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t)),u(t)=(u1(t),u2(t),u3(t))是系统(1)对不同初值问题的两个解.令V1(t)=|lnx1-lnu1|,V2(t)=|x2-u2|,V3=|x3-u3|,所以

而

同理可得:

再令V(t)=α1V1(t)+α2(V2(t)+V4(t))+α3(V3(t)+V5(t)),

由前面推导可知:

D+(t)≤-B1(t)|x1(t)-u1(t)|-B2(t)|x2(t)-u2(t)|-B3(t)|x3(t)-u3(t)|

取适当的α1,α2,α3,使下面式子成立:

因此系统(1)的任意正解是稳定的且是全局吸收的,即为全局渐近稳定的.

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Global Asymptotic Stability in Three-Species Non-Autonomous System with Time-Delay

LI Yuxia

(College of Information,Shanxi Agricultural University,Taigu 030800, China)

A delay and non-autonomous system in investigated.By using Lyapunov function,some conditions for global asymptotic stability of the system are investigated.

global asymptotic stability;non-autonomous;time-delay;ecological system;predator-prey system

2016-04-11

李玉霞(1986-),女,河南安阳人,硕士，山西农业大学信息学院助教,主要从事泛函分析、微分方程研究.

1672-2027(2016)02-0026-03

O175

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