时变供需下基于商业信用的零售商最优订货策略

秦娟娟

(天津财经大学商学院，天津 300222)



时变供需下基于商业信用的零售商最优订货策略

秦娟娟

(天津财经大学商学院，天津 300222)

论文在时变供需环境下，即市场需求为斜坡式时间函数及补货率依赖于市场需求情境下，探讨了基于商业信用的供应链中零售商最优订货策略。首先，根据商业信用期和零售商补货周期的关系，分两种情形构建了零售商库存模型；其次，根据零售商的库存模型，证明了其最优解的存在，并给出相关的命题和算法来求解零售商的最优库存策略；最后，通过数值算例和灵敏度分析来论证文中的有关结论。研究发现：当供应商给予零售商的商业信用期较短时，此时市场需求仍处于增长期，随着市场需求稳定时间点的增大，零售商的最优订货周期逐渐减小，最优订货量和年费用也逐渐减小；当供应商给予零售商的商业信用期较长时，此时市场需求已趋于稳定期，随着市场需求稳定时间点的增大，零售商的最优订货周期逐渐增大，最优订货量和年费用也逐渐增大；当供应商生产与市场需求依赖性逐渐增大时，零售商的最优订货周期逐渐增大，最优订货量及年费用也逐渐增大。

商业信用；斜坡式时间函数；补货率依赖于需求；订货策略

1 引言

商业信用是卖方向买方提供的一种信用，允许买方从卖方购得商品而不需要立刻支付货款，是企业间普遍采用的短期融资方式。据金融时报报道，2007年全球商品贸易的资金90%是通过商业信用来提供的，约25万亿美元；2009年3月，Wal-Mart的资产负债表中，有28.8万亿美元的应付账款，占其持有库存的75%。在供应商提供的商业信用期到达之前，零售商可以通过合理利用所积累的销售收入获得额外的利息收入；当超过了商业信用期时，零售商则要支付高额的利息支出费用。

现实中，随着技术的快速发展和消费者需求的快速变化，许多产品面临着更短的生命周期，新产品的引入更加频繁，如国美的电子数码产品销售。描述新产品销售较常用的函数是斜坡式时间函数，即市场需求随着时间线性增长 (市场增长阶段)，在某特定的时间，市场需求达到稳定且保持该稳定状态(市场成熟阶段)。除了新产品引入，许多节日销售相关产品，如国庆等假日产品的促销，实证研究发现这些商品的市场需求也符合斜坡式时间函数。另一方面，随着市场需求的变化，其供应商会逐渐基于市场需求来调整生产策略，如新产品引入过程中，当需求趋于旺盛时，供应商会相应的提高生产率， 间市场需求和补货依赖于市场需求下，基于商业信用的供应链库存优化问题，成为供应加快补货速率；当新产品需求趋于成熟时，则供应商的生产也趋于稳定。因此，基于上述情景，如何构建求解商业信用影响下，斜坡式时市场需求及生产依赖与需求下的库存优化问题，成为供应链中企业广泛关注的一个问题，但相关文献很少探讨该问题。

传统的经济订货批量模型(EOQ)假设采购商收到供应商的货物就立即支付全额的货款，没有考虑到采购商向客户提供的商业信用期。Goyal[1]首先提出了允许延期支付的商业信用下的EOQ模型，随后又有不少学者对该模型进行了多方面的扩展。Huang Yungfu[2-3]]分析了二阶信用期限下采购商的最优库存更新策略。贾涛等[4]在两级商业信用下探讨存在顾客预付的易腐蚀品库存模型。Thangam[5]分析了类似的问题情境，但是其利息收入和利息支出的计算方法更加合理。有些学者考虑了不同支付期限下利息率的差异，如Goyal等[6]和Chung[7]在商业信用限期之后引入了“regular interest”。Soni和Shah[8]讨论了三阶段利率模型，包括免息期，利息支出率及利息支出率。此外，还有许多学者从不同的角度对商业信用下企业的库存决策问题进行研究，如邱昊等[9]研究了现金折扣问题；Huang等[10]探讨了订单处理成本的降低；Tsao[11]分析了两类零售商业折扣策略：多商品下促销努力成本共享及价格折扣策略。秦娟娟[12]考虑商业信用所带来的风险，在固定市场需求情景下，研究坏账和延期支付策略下零售商的最优订货策略。

但许多文章在构建商业信用下库存管理模型时，常假设市场需求率是固定的。然而，在企业运作中，市场需求是经常变化的且会受到多种因素的影响，如产品价格、库存水平、产品生命周期阶段等。因此，一些学者在市场需求是变化的假设条件下，探讨了商业信用下企业的库存决策，如Tsao和Sheen[13]在需求依赖于价格和时间的函数下，探讨了易腐蚀品的最优定价、促销及补货策略；Soni和Shah[14]讨论了需求依赖于库存水平的二阶延期支付策略。Sarkar[15]在需求依赖于时间及有限补货率情境下探讨了商业信用下的EOQ模型。Diwakar和wang Lei[16]在随机需求假设下，构建了商业信用下零售商运营的离散时间模型。Chen等[17]设市场需求依赖于商业信用，探讨了零售商的最优订货策略。Jaggi等[18]假设市场需求受商业信用的影响，探讨了两级商业信用支付下零售商的最优库存及最优商业信用政策。Giri和Maiti等[19]假设市场需求与价格及商业信用期相关，探讨了两级延期支付策略下供应链的最优订货策略。

然而，在斜坡式时间市场需求函数下基于商业信用探讨供应链中的库存优化问题的还没有受到学者们太多的关注，仅有Huang等[20]在斜坡式市场需求下探讨了单个产品的最优订货策略。Darzanou和Skouri[21]在市场需求为斜坡式市场需求函数下，考虑缺货影响，探讨了易逝品的两级商业信用支付下的最优库存更新策略。Singh和Sharma[22]也探讨了易逝品、斜坡式市场需求函数及允许缺货下两级商业信用支付下的最优库存更新策略，并考虑了产品保存技术的影响。

但是，这些研究均假设补货率为无限的或为一固定补货率。然而，现实中，当市场需求提高时，供应商也会相应的提高生产率，加快补货速度；如果市场需求萎缩时，供应商则会降低生产率，补货速度相应的也会降低。Chaudhuri[23]和Skouri等[24]分析了斜坡式市场需求及生产依赖于需求下的库存优化问题，但其没有考虑商业信用的影响。

因此，基于上述文献分析，可见在斜坡式时间市场需求和补货依赖于市场需求的市场环境下，探讨基于商业信用的供应链库存优化问题还没有相关的文献研究。本文从以下几个方面拓展经典的经济订货批量模型：基于商业信用来探讨EOQ模型；引入斜坡式时间的市场需求函数；补货率依赖于需求率，即补货率为时间的函数，进而在时变供需环境下探讨基于商业信用的零售商最优库存优化问题。

2 符号表示与假设条件

假设条件主要有：

1)供应链系统有单个供应商和单零售商组成，仅涉及到一种产品的生产和销售。

2)供应链中，订货提前期为0，且不允许缺货。

3)系统中，初始库存水平和最终库存水平都为0。

4)产品市场需求为随时间变化的斜坡式需求函数：R=f(t)=D0[t-(t-μ)H(t-μ)]，t≥0, D0和μ也为正的常数值。H(t-μ)为 Heaviside函数：

5)供应商的生产率为k=rf(t),r(>1)为常数。在供应商的生产周期内，一旦产品被生产出来就立即运送给零售商，不考虑其运输时间。也就是说，零售商的补货率为k。

6)供应商给予零售商商业信用期限M。当T≥M时，零售商需要为时间区间为[M, T]中未销售的库存支出一定的利息，利息支出率为Ic；当T≤M时，零售商不需要支付任何的利息支出。在商业信用期M之前，零售商不需要支付货款，可以利用其销售收入获得一定的利息收入，利息收入率为Ie。

7)生产周期时间t1大于时间点μ，且时间点μ小于零售商补货周期T。否则，斜坡式需求函数则为随时间变化的递增函数，不是本研究所要探讨的主要问题。

本文用的主要符号如下：A: 单个订单的订货费用；t1:库存水平达到最大的时间点；S: 最大库存水平；ch: 单位库存持有成本(不计利息支出)；p: 单位销售价格；Ie: 单位利息支出率；Ic: 单位利息收入率；M: 供应商提供给零售商的商业信用期；I(t): 随时间变化的库存水平t∈[0,T]；T: 库存补货周期；TRC(T):年总费用函数；基于上述的符号和假设，我们可以构建时变供需环境下，基于商业信用的零售商最优订货模型。

3 数学模型

3.1 库存水平

论文研究的库存系统如下：首先，在初始时间点，零售商的库存水平为0，零售商从时间点t=0开始补货直到t=t1停止，此时零售商库存水平在时间点t=t1达到最大值。其次，随着时间的推移，系统的库存水平因市场需求而逐渐降低，直到t=T时，零售商的库存水平又降为0。因此，零售商随时间变化的库存水平I(t)可以用如下的微分方程式来表示。

在市场增长阶段，即位于时间区间[0,μ]，需求率为D0t，补货率为rD0t。因此，零售商时变的库存水平为：

dI1(t)/dt=(r-1)D0t, 0≤t≤μ

(1)

其满足的边界条件为I1(0)=0。

在产品市场成熟阶段[μ,t1]，市场需求率为D0μ，补货率为rD0μ。因此，零售商时变的库存水平为：

dI2(t)/dt=(r-1)D0μ,μ≤t≤t1

(2)

其满足的边界条件为I2(t1)=S。

在市场成熟阶段[t1,T]，市场需求率为D0μ，补货停止。因此，此阶段时变的库存水平为：

dI3(t)/dt=-D0μ,t1≤t≤T

(3)

其满足的边界条件为I3(t1)=S和I3(T)=0

由上述式子(1-3)，我们可以求得库存水平Ii(t) (i=1,2,3) 分别为

I1(t)=(r-1)D0t2/2,0≤t≤μ

(4)

(5)

I3(t)=D0μ(T-t),t1≤t≤T

(6)

根据边界条件I1(t1)=I3(t1)=s得:

(r-1)D0μt1-(r-1)D0μ2/2=D0μ(T-t1)

(7)

由式子(7)，易求得：

t1=[T+(r-1)μ/2]/r

(8)

3.2 年相关费用

对零售商而言，年相关费用主要有以下几项组成：订货费用，库存持有成本，利息收入和利息支出。其中：年订货费用为A/T。

(1)年库存持有成本(不计利息支出)可基于各时间区间的库存水平来求解，表示为：

(2)(2)对于年利息支出和年利息收入，论文分M≤μ及M>μ两种情形分别讨论。当M≤μ时，即供应商提供给零售商的商业信用期小于产品市场需求稳定的时间点，市场需求处于增长阶段；当M>μ时，供应商提供给零售商的商业信用期大于产品市场需求稳定的时间点，产品的市场需求已处于稳定阶段。

情形1: M≤μ

在此情景下，供应商提供给零售商的商业信用期小于产品市场需求稳定的时间点，市场需求处于增长阶段。同时，由假设条件μ≤t1≤T，生产周期时间t1大于时间点μ，且时间点μ小于零售商补货周期T，可知当M≤μ时，仅有一种情形，即M≤μ≤t1≤T。

情形 1-1M≤μ≤t1≤T

对于零售商而言，在时间区间[M,T]中，零售商需要为未售出的库存商品支付一定的利息，因此其利息支出为：

在时间区间[0,M]，供应商提供给零售商商业信用期限内，零售商可以利用已销售商品获得一定的利息收入为：

情形 2: M>μ

此情景下，供应商提供给零售商的商业信用期大于产品市场需求稳定的时间点，产品的市场需求已处于稳定。由假设条件μ≤t1≤T，可知当M>μ时，有三种情形:

μ≤t1≤M≤T,μ≤M≤t1≤T,μ≤t1≤T

情形2-1: μ≤t1≤M≤T

对于零售商而言，在时间区间[M,T]中，零售商需要支付一定的利息，其利息支出为：

在时间区间[0,M]，零售商可以用已销售的商品获得一定的利息收入：

情形 2-2: μ≤M≤t1≤T

此情形下，对于零售商而言，在时间区间[M,T]中，其利息支出为：

在时间区间[0,M]，零售商可以用已销售的商品获得一定的利息收入：

情形2-3: μ≤t1≤T

此情形下，在时间点M，零售商已经没有了库存商品，因此零售商的利息支出为0。

在时间区间[0,M]，零售商可以用已销售的商品获得一定的利息收入：

rD0(M-T)μ2/2+rD0(M-T)(t1-μ)]

4 模型求解

4.1 情形1:M≤μ

由假设条件μ≤t1≤T及式(8)，很容易证得T≥μ(r+1)/2。因此，当M≤μ时，零售商的年费用函数为：

TRC1(T)=TRC11,M≤μ≤t1≤T

其中：

令：

α=-A-(ch+cpIc)D0μ3(r-1)(1/24+1/8r)+D0M3[cpIc(r-1)+sIe]/6≥0零售商的最优订货周期可由命题1求得。零售商的最优订货水平为

命题1

证明：见附录1。

4.2 情形 2:M>μ

当M>μ,易知M>μ>μ/2，因此，可得Mr-(r-1)μ/2>M。对零售商而言，其年费用函数为：

其中：

TRC21=A/T+ch[(r-1)D0μ3/6+rD0μt12/2-(r-1)D0μ2t1/2+D0μT2/2-D0μt1T]/T+cpIc(D0μT2/2-D0μTM+D0μM2/2)/T-sIe(-MD0μ2/2+D0μ3/6+D0μM2/2)/T

TRC22=A/T+ch[(r-1)D0μ3/6+rD0μt12/2-(r-1)D0μ2t1/2+D0μT2/2-D0μt1T]/T+cpIc(-D0t13/3+D0M3/3-D0μ2M/2-D0μTM+D0μ2M+D0μT2-D0μ2T/2)/T-sIe(-MD0μ2/2+D0μ3/6+D0μM2/2)/T

TRC23=A/T+ch[(r-1)D0μ3/6+rD0μt12/2-(r-1)D0μ2t1/2+D0μT2/2-D0μt1T]/T-sIe[MD0T2/2-D0T3/3+rD0(M-T)μ2/2+rD0(M-T)(t1-μ)]/T

对零售商而言，其目标函数为minTRC2(T)。为了求得零售商的最优解，我们对函数TRC2(T)的三个分枝函数分别求其对时间T的一阶、二阶导数。

令：

β1=-A-chD0μ3(r-1)(1/24+1/8r)+sIeD0μ(-Mμ/2+μ2/6+M2/2)-cpIcD0μM2/2

与命题1证明类似，易得命题2。

命题2

1)如果β1<0，则当T∈(0,∞)时，TRC21是决策变量T的凸函数，存在极小值点。

2)如果β1≥0，则当T∈(0,∞)时，TRC21是决策变量T的增函数。

证明：略。

令：

β2=-A-ch[(r-1)D0μ3/6-D0(r-1)2μ3/8r]+sIe(-MD0μ2/2+D0μ3/6+D0μM2/2)-cpIc(D0M3/3-D0μ2M/2+D0μ2M)

与命题1证明类似，可得命题3。

命题3

1)如果β2<0，则当T∈(0,∞)时，TRC22是决策变量T的凸函数，存在极小值点。

2)如果β2≥0，则当T∈(0,∞)时，TRC22是决策变量T的增函数。

证明：略。

令：

β3=-A-ch[(r-1)D0μ3/6-D0(r-1)2μ3/8r]-sIe(MrD0μ2/2+(r+1)D0Mμ/2)

与命题1证明类似，可得命题4。

命题4

1)如果β3<0，则当T∈(0,∞)时，TRC23是决策变量T的凸函数，存在极小值点。

2)如果β3≥0，则当T∈(0,∞)时，TRC23是决策变量T的增函数。

证明：略。

在上述约束条件下，情形2中零售商的年费用函数可转化为以下两种情形。

(1)如果Tα

根据上文分析，我们可采用如下算法来求解零售商的最优库存更新策略。

算法1Tα

步骤3.2: 当β3≥0，

步骤4:求解

(2)如果M≤Tα，则有：

我们可采用如下算法来求解零售商的最优库存更新策略。

算法2M≤Tα

步骤2.2: 当β3≥0，

5 算例及灵敏度分析

5.1 数值算例

算例 1 (M≤μ)

算例2 (M>μ)

当M≤(r+1)μ/2时，相关参数值如下：单位订单订货费用A=$50,D0=500，r=2，产品销售单价为s=$100，单位库存持有成本ch=$5，产品单位购买成本cp=$40，Ie=0.15，Ic=0.08，M=0.5年，μ=0.4年。

当(r+1)μ/2≤M时，单位订单订货费用A=$250,D0=500，r=2，产品销售单价为s=$40，单位库存持有成本ch=$5，产品单位购买成本cp=$20，Ie=0.15，Ic=0.08，M=0.7年，μ=0.4年。

5.2 灵敏度分析

从表1和表2的各参数对最优解的灵敏度分析，可以得出以下结论：

1)随着供应商给予零售商商业信用期的延长，零售商的最优订货周期逐渐减小(或不变)，最优订货量也逐渐减小(或不变)，其年费用则逐渐减小。由此可见，零售商尽可能利用供应商提供的商业信用期，缩短订货周期和每次的订货量。

2)当M≤μ时，供应商给予零售商的商业信用期较短时，即小于市场需求稳定的时间点，此时市场需求仍处于增长期，随着市场需求稳定时间点的增大，零售商的最优订货周期逐渐减小，最优订货量和年费用也逐渐减小；当M>μ时，即供应商给予零售商的商业信用期较长时，即大于市场需求稳定的时间点，此时市场需求已趋于稳定期，随着市场需求稳定时间点的增大，零售商的最优订货周期逐渐增大，最优订货量和年费用也逐渐增大。

表1 相关参数的灵敏度分析M≤μ

基本参数值：A=$250,D0=500,r=2,s=$40,ch=$5,cp=$20,Ie=0.15,Ic=0.08,M=0.3年,μ=0.5年。

3)随着供应商生产率与市场需求依赖性的逐渐增大，零售商的最优订货周期逐渐增大，最优订货量及年费用也逐渐增大。当供应商的补货能力较强时，零售商不需要频繁订货，订货周期较长，每次订货量较多；但是，如果供应商的补货能力较弱时，零售商则倾向于提高订货频率，因此相应的订货周期和订货量则减小。因此，供应商的供货能力也会直接影响到零售商的最优补货决策。

表2 相关参数的灵敏度分析M>μ

基本参数值：A=$250,D0=500,r=2,s=$40,ch=$5,cp=$20,Ie=0.15,Ic=0.08,M=0.7年,μ=0.5年。

4)随着零售商订货费用的增加，零售商的最优订货周期、最优订货批量和年费用函数逐渐增加(或不变)。结论表明，当零售商的单次订货费用较高时，零售商需要提高每次的订货量来减少订货的次数。

5)随着市场需求率D0的增加，零售商的最优订货周期减小(或不变)。当市场需求变化较快时，零售商将提高订货频率来满足市场需求。当M≤μ时，零售商的年费用函数随着参数D0的增大逐渐增大；而当M>μ时，零售商的年费用函数随着参数D0的增大逐渐减小。

6)随着零售商单位库存持有成本的增加，零售商的最优订货周期及最优订货批量逐渐减小(或不变)，但是年费用函数逐渐增加。因此，对零售商而言，当单位库存持有成本增大时，零售商将减少订货周期和订货批量来降低库存持有水平，进而节约相关的成本。

7)随着零售商单位利息收入率Ie的增加，零售商的最优订货周期、最优订货批量和年费用函数逐渐减小(或不变)。因此，对零售商而言，当单位利息收入较高时，其年费用逐渐减少。而随着利息支出率Ic的逐渐增大，零售商的最优订货周期及最优订货量则逐渐减小(或不变)，年费用函数逐渐增加。

6 结语

本文在市场需求为斜坡式时间函数及补货率依赖于市场需求的情境下，探讨了商业信用模式下，供应链中零售商的最优订货策略：分两种情形构建了零售商库存模型；根据零售商的库存模型，证明其最优解的存在，并给出相关的命题和算法来求解零售商的最优库存策略；通过数值算例和灵敏度分析来验证文中的有关结论。

研究发现：随着供应商给予零售商商业信用期的延长，零售商的最优订货周期逐渐减小(或不变)，最优订货量也逐渐减小(或不变)，其年费用则逐渐减小；当供应商给予零售商的商业信用期较短时，即小于市场需求稳定的时间点，此时市场需求仍处于增长期，随着市场需求稳定时间点的增大，零售商的最优订货周期逐渐减小，最优订货量和年费用也逐渐减小；当供应商给予零售商的商业信用期较长时，即大于市场需求稳定的时间点，此时市场需求已趋于稳定期，随着市场需求稳定时间点的增大，零售商的最优订货周期逐渐增大，最优订货量和年费用也逐渐增大；随着供应商生产率与需求依赖性的逐渐增大，零售商的最优订货周期逐渐增大，最优订货量及年费用也逐渐增大。当供应商的补货能力较强时，零售商不需要频繁订货，订货周期较长，每次订货量较多；但是，如果供应商的补货能力较弱时，零售商则倾向于提高订货频率，因此相应的订货周期和订货量则减小。因此，供应商的供货能力也会直接影响到零售商的最优补货决策。

附录: 命题1证明

TRC1对时间T的一阶导数为：

∂TRC11/∂T={-A-(ch+cpIc)[(r-1)D0μ3/6-D0(r-1)2μ3/8r-(r-1)D0μT2/2r]+cpIc(r-1)D0M3/6+sIeD0M3/6}/T2;

TRC1对时间T的二阶导数为：

∂2TRC11/∂T2=-2{-A-(ch+cpIc)[(r-1)D0μ3/6-D0(r-1)2μ3/8r]+cpIc(r-1)D0M3/6+sIeD0M3/6}/T3

令：

f(T)=-A-(ch+cpIc)[(r-1)D0μ3/6-D0(r-1)2μ3/8r-(r-1)D0μT2/2r]+cpIc(r-1)D0M3/6+sIeD0M3/6。

如果

α=-A-(ch+cpIc)D0μ3(r-1)(1/24+1/8r)+D0M3[cpIc(r-1)+sIe]/6≥0

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The Optimal Replenishment Policy for the Retailer Under the Time Varying Demand and Supply Involving the Trade Credit Financing

QIN Juan-juan

(Business School in Tianjin University of Finance & Economics, Tianjin 300222,China)

The suppliers often provide the trade credit for the payment of the amount owed. Usually, there is no interest charged for the retailer if the outstanding amount is paid in the allowable delay. If the payment is unpaid in full by the end of the permissible delay period, interest is charged on the outstanding amount. The inventory replenishment policies under trade credit financing have been studied intensively. But most of the existing inventory models under trade credit financing are assumed that a constant demand and the infinite or a constant replenishment rate. However, in practice, the demand rate is the ramp type function of time for some cases, such as the new products and the holiday related products. On the other hand, the production rate is related to the market demand. Therefore, the optimal order strategy of the retailer was discussed based on the trade credit financing, considering the time varying supply and demand. First, according to the relationship of the trade credit period and the retailer’s replenishment cycle, the retailer’s inventory models are constructed from two kinds of situations; Second, based on the inventory model, the existence of the optimal solutions is proved and give related theorems and the algorithms are given to solve the retailer's optimal inventory strategy; Finally, the numerical example and sensitivity analysis are carried out to demonstrate the related conclusions. The results show that: when the supplier gives the retailer's short trade credit period, which is less than the stable point of the demand, with the increase of stable point time, the retailer's optimal order cycle, the optimal order quantity and the annual cost decreases; when the supplier gives the retailer's trade credit period long, greater than the stable point of the demand, with the increase of stable point time, the retailer's optimal order cycle, the optimal order quantity and the annual cost also increases; with the dependence of suppliers’ production on the demand stronger, the retailer's optimal order cycle, the optimal order quantity and the annual cost also increases. The paper extends the EOQ models and enables the managers to make the replenishment policies more effectively.

trade credit financing; the ramp type demand; replenishment time dependent on the demand; order policy

1003-207(2016)03-0089-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.03.011

2013-10-23；

2014-08-11

国家自然科学基金资助项目(71172018, 71302115)；教育部人文社会科学研究青年基金(13YJC630121); 天津市高等学校创新团队培养计划(TD12-5051)

简介：秦娟娟(1983-)，女(汉族)，河南平顶山人，天津财经大学商学院副教授，研究方向：物流供应链管理等.

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