构造概率模型证明组合恒等式

张旭

摘要：排列、组合是学习概率论的重要工具。反过来，通过构造适当的概率模型又可以证明组合数学的一些重要性质。本文通过构造概率模型，证明了3类10个组合恒等式。

关键词：组合恒等式；概率模型

一、引言

1、问题提出。组合数学是数学的一个重要分支，而组合恒等式的研究又是组合数学的一个重要内容之一。由于组合恒等式在概率中有着极为广泛的应用，又是研究概率论的重要工具，因此我们同样可以反过来构造适当的概率论模型去证明一些组合恒等式。从而使一些复杂的恒等式证明变得简单易懂。

2、文献综述。文献[1]用贝努里概率模型证明了组合恒等式，能够使得一些看似复杂的组合恒等式证明变得更加容易。文献[2，3，10]用“古典概率模型”中的抽球模型证明了组合恒等式，通过此模型对问题的解决，使我们得到了一个一般的概率思想方法。文献[11]用几何概率思想并运用了超几何概率公式，全概率公式以及完备事件组性质证明了组合恒等式，而本文则通过三种模型的结合证明了组合恒等式，使概率的思想方法在组合恒等式的证明中得到了更充分的利用，并对恒等式证明进行了归类，体现了学科与学科之间的相互应用。

二、三种模型的证明

1、构造抽球模型证明组合恒等式。抽球模型问题是概率论中“古典概率模型”的一类基本问题，我们可以构造抽球模型来证明一些组合恒等式。

2、构造几何概率模型证明组合恒等式。对于组合数学中的一些恒等式，通过构造几何模型进行证明能够使得这些等式的证明变得更加清晰明了。下面就是三个通过构造几何模型证明的组合恒等式。

3、构造贝努里概率模型证明组合恒等式。证明组合恒等式的方法有很多，而通过构造贝努里概率模型证明组合恒等式能够使得一些看似复杂的组合恒等式更加便捷。

等式得证

此题利用几何分布的性质，期望及方差得到证明。在这里我们运用上面的三种构造概率模型的方法证明了我们常见的十个组合恒等式。构造概率模型的方法还可以解决许多其它的组合恒等式如：

参考文献

[1] 屈婉玲.组合数学[M].北京大学出版社，1989.

[2] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].高等教育出版社，2007，7-8.

[3] 刘云，王阳.巧用概率模型解决代数问题[J].和田师范专科学校学报，2008，215-206.

[4] 孙树伟.几类组合恒等式的概率证法[J].高校讲台，2007.11-13

[5] 孙福杰.用古典概率方法证明组合恒等式[J].白城师范学院学报，2003. 69-70.

[6] 周华生.用概率法证组合恒等式[J].中学教研（数学），2005，10-12.