魅力七巧板

眭亚燕

七巧板是我国祖先的一项卓越创造，是一千多年前的古代人民创造出来的益智游戏.它是把一块正方形的木板分成七块（如图1），其中有五个直角三角形，一个平行四边形和一个正方形.用七巧板可以拼出很多种图形，如能拼出个数字（如图2）或英文字母（如图3），也能拼出几何图形、动物、建筑物等.

七巧板既是玩具又是学具，大家能在“玩”中学习，“玩”中开动脑筋，“玩”中动手操作.在拼摆活动中，挖掘七巧板游戏背后那些有价值的数学思想，会让你获得终身受益的思维方式.

一、七巧板的发展历史

1.历史渊源——从家具到玩具

宋朝有个叫黄伯思的人，对几何图形很有研究，他热情好客，发明了一种用6张小桌子组成的“宴几”——宴席用的矮脚桌.有趣的是每张几形状都不同，它们有一定的尺寸，既可单独使用，又可根据所要拼成的桌面大小来调整，可大可小，图形变化无穷.后来有人把它改进为7张桌组成的宴几，可以根据吃饭人数的不同，把桌子拼成不同的形状，比如3人拼成三角形，4人拼成四边形，6人拼成六边形……这样用餐时人人方便，气氛更好.再后来，有人把宴几缩小到只有七块板，并用它拼图，演变成了一种玩具.因为它巧妙好玩，所以人们叫它“七巧板”.

到了明末清初，皇宫里经常用“七巧板”来庆贺节日和娱乐，拼成各种吉祥图案和文字，故宫博物院至今还保存着当时的七巧板呢！18世纪，七巧板传到国外，立刻引起了当地人极大的兴趣，有些外国人通宵达旦地玩它，并叫它“唐图”（Tangram），意思是“来自中国的拼图”，它是世界公认的中国人创造的智慧游戏.1978年荷兰人JoosfElffers编写了一本有关七巧板的书，书中收集了1600种图形，并被译成多国文字出版.

2.数理渊源——从“矩”认识到勾股法

中国最权威的七巧板专家傅起凤经过30多年的考据证明，认为七巧板的文化数理渊源来自人们对“矩”（直角三角形）的认识.桑下客在《正续七巧板图合璧》序言中说：“七巧之妙，亦名合巧图，其源出于勾股法.”傅起凤考证：“七巧板最显著的特点，是全部图形都以矩为基础构成，七巧游戏可以说是矩的游戏.”“我们的祖先对矩情有独钟，认识、研究、应用矩非常之早.中国古代的数学经典《周髀算经》和《九章算术》中，最早讨论了矩的性质和勾股定理的应用问题，在世界科学史上具有极其重要的作用.”迄今为止，关于勾股定理的证明已有500余种，七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》，其中有正方形切割术，并由之证明了勾股定理.但当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形，如图4所示，当时还不是七巧板，仅仅是五巧板，现在的七巧板是经过一段历史演变而来的.这个拼图简洁、明了，整个大正方形的面积等于其中四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而建立等式.经过简单的代数推导过程，就能证明勾股定理了.

3.清朝改良——从七巧板到益智板

我们知道利用七巧板可以拼出许多巧妙的图形.但是，由于七巧板的块数较少，而且都是多边形，因此拼出来的花样必然会受到一定限制.清朝同治元年（1862年），有一个叫童叶庾的数学家将七巧板加以改进，发明了“益智板”.益智板有15块，有些块含有圆弧，其结构如图5所示.15块组件的形状分别是：一个平行四边形、两个半圆、四个带圆弧的L字形、四个三角形、两个梯形和两个L形.用益智板可以拼出一些造型复杂的图案，如图6所示，由于它拼出的图形比七巧板更多、更美观自然，因此能引起人们更大的兴趣.

二、七巧板的拼图悖论

所谓“悖论”就是有这样一种命题：你说它是真的，那么它是假的；你说它是假的，那么它又是真的.历史上出现过一些著名的悖论，如说谎者悖论，说的是公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家艾皮米尼蒂斯说：“所有克里特人都是说谎者.”如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人艾皮米尼蒂斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人都是说谎者相悖；如果这句话不是真的，那么克里特人艾皮米尼蒂斯就不是说谎者，他说的话就应该是正确的，但显然这与他说的那句话矛盾.所以无论怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论.

简简单单的七巧板蕴含着许多有趣的数学问题，在数学和逻辑学中出现悖论，是科学家历来十分关注的一个问题，也是一个十分有趣的问题.在七巧板的研究中，人们也发现了有趣的拼图悖论.下面就让我们来欣赏一下吧.为了便于表达，不妨设原正方形的边长为2，则七巧板中的每条边长都可以表示出来，如图7所示，用这副七巧板拼出以下四幅图形：

拼法一、二和拼法三、四分别所对应的图形，外形看起来几乎一模一样，但实际上面积是不相等的.事实上，这些悖论曾引起过科学界的热烈讨论，随着问题的解决，也极大地推动了科学，尤其是科学和逻辑学的发展.最后，聪明的你能否拼出图8和图9中的悖论图呢？

（作者单位：江苏省常州市新北区浦河实验学校）