“平行四边形的面积”教学研究报告

“平行四边形的面积”教学研究报告

长沙市丁丽数学名师工作室潇湘数学教育工作室

一、问题

人教版五年级上册第五单元“多边形的面积”第一课时安排的是平行四边形的面积。教材的编写思路是：通过数方格发现平行四边形的面积就是它的底乘高；然后通过剪拼（即割补，下统称剪拼），将平行四边形转化为长方形；接着观察剪拼前后图形之间的关系，推导出平行四边形的面积计算公式；最后是应用公式解决问题。基于学生已有的知识经验，我们如果按教材的编排顺序来思考，不得不面对几个问题：1.为什么要用方格？2.为什么要剪拼？3.为什么要把平行四边形转化成长方形？我们面对新的问题时，依靠“提示”的帮助确实可以使问题得以解决。但如果没有这些“拐杖”，该怎么办？数学不能像“魔术师帽子里蹦出来的兔子”，始终以神秘的姿态出现，只管结论而不考虑缘由，这不利于孩子获得独立研究问题的方法，培养寻根究底的探索精神。更何况，就平行四边形而言，靠学生自己直面这一新图形，通过主动联系与转化获得图形面积的计算公式是很困难的。

不同版本教材中对多边形面积的编排顺序不尽相同。例如，香港数学教材中将三角形面积作为多边形面积学习的第一课时，而人教版教材则选择平行四边形面积为多边形面积学习的第一课时。不论怎样的安排，平行四边形面积的学习建立在学生掌握了平行四边形的特征以及长方形、正方形面积计算公式的基础上。它是学生学习梯形面积等多边形、组合图形面积以及圆的面积与立体图形表面积计算的基础。笔者也曾尝试从三角形面积入手学习多边形面积，这是可行的。更何况，《九章算术》中没有对平行四边形面积的研究，仅有“方田术”“圭田术”，未提及其余多边形面积的计算，缘由有二：一是依据现有的两个图形面积的算法足以解决其余多边形的面积计算问题，二是从《九章算术》解决当时实际生活问题的背景来看，求平行四边形的面积并不多见。对平行四边形面积教学的研究颇多，本研究强调的是基于学生第一次学习面积公式推导的讨论。因为这既是学生第一次经历面积公式推导的过程，也是整个小学阶段最后一次涉及平行四边形面积计算的学习（进入中学，学习的是平行四边形的性质及判定定理）。所以，对这样一个学习内容，学生到底应该学什么、老师应该教什么显然是本课设计的起点。对平行四边形面积的教学，老师们一般的做法是重结论和应用，忽视了这节课作为第一次面积公式推导所应承载的价值。

基于此，我们将教与学的目标进行了重新定位：

1.进一步理解面积，掌握平行四边形的面积计算公式，经历探索平行四边形面积计算公式的过程。

2.通过猜测、比较、验证等活动，学生探究平行四边形面积的计算公式，积累新图形面积计算公式推导的经验；在面对新的数学问题时，尝试获得问题解决的办法。

3.学生体验学习成功的愉悦，提高主动获取知识的能力。

本课定位在通过平行四边形面积的学习，学生不仅会计算一个具体的平行四边形的面积，还能积累推导面积计算方法的经验——基于已有的面积算法提出猜测，进而验证，获得结论。这将为新的图形面积计算公式的获得提供解决的策略，让每一个图形面积的解决都可循道而行。按照这样的思路，我们进行了如下的教学尝试。

二、实践

片段一：研究铺垫

师：（板书：平行四边形的面积）今天，我们一起研究平行四边形的面积。关于图形的面积，你会算哪些？怎么算？

生：我学过长方形和正方形的面积计算公式。长方形面积等于长乘宽，正方形面积等于边长乘边长。

（教师依次在黑板上张贴长方形、正方形教具，并在图形下方板书面积算法，然后张贴平行四边形教具）

师：回答得很对。我们如果在已有的长方形、正方形面积算法的基础上能研究出新图形——平行四边形的面积算法就好。

片段二：研究一个具体的平行四边形的面积

图1　

师（拿出一个半透明的小平行四边形）：我为每个同学都准备了一个平行四边形，现在我们看看能否先算出它的面积来？请动手测量你需要的数据，独立研究。

学生拿出材料袋中统一规格的半透明平行四边形进行操作。教师巡视，与个别学生沟通算法，解决数据测量等问题。

师：我注意到，不少同学已经算出了它的面积。接下来请几个学生说说自己的研究结果。为了能让更多的人听明白，建议大家按照屏幕上显示的这样表达。（如图1所示）谁先来试一试？

生1：我得到的结果是40平方厘米。我是像计算长方形的面积一样，找到平行四边形的长和宽，测量得出长是8厘米，宽是5厘米，所以它的面积是40平方厘米。

师：能带上你的平行四边形上台介绍一下你所说的平行四边形的长和宽吗？

生1（在实物展台下指认并解说）：下面这条长的边是长，斜着的边是宽。

师：哦，原来是这样。我们四年级专门学习过平行四边形各部分的名称，为了方便沟通，我们都统一成一个说法，行吗？谁来介绍一下？

生2：他说的长其实是平行四边形的底，斜着的边叫腰。（师贴出算法图，并板书，如图2所示）

师（问生1）：你是这么算的吗？

生1（点头）：是的。师：还有不同的意见吗？生3：我算出来的不一样！我得到的结果是32平方厘米。我测量的是平行四边形的底和高，底是8厘米，高是4厘米，它的面积是32平方厘米。（师贴出另一算法图，并板书，如图3所示）

师：同一个平行四边形，两位同学得到了两种不同的结果。显然，这里面要么有一个是错的，要么两个都存在问题。你支持谁的观点呢？能说说你的理由吗？

图2　

图3　

生4：我同意第二种算法。因为如果沿着高剪开，左边被剪下的小三角形移到右边就可以变成长方形。所以，我认为方法二对。

生5：我倒认为方法一对。方法二还要剪，剪完再去拼。但是我们以前学过平行四边形，它有不稳定性，一拉就可以变成长方形，所以直接用长方形面积公式计算就行。

师：其他同学的意见呢？

生6：好像都有道理。不知道该支持谁了。

师：无论怎样，我知道同一个图形的面积肯定只有一个。既然两方各有理由，我们不如另想办法来确认它的面积如何？

生：好！

师（拿出方格纸）：借助这个工具如何？

生7：对，我们可以数格子。

师生一起数出这个平行四边形的面积等于32个1平方厘米的方格（如图4所示）。

图4　

师：如此看来，哪种方法对？

生：第二种方法对。

片段三：研究平行四边形的面积算法

师：我们一起看看第二种方法为什么对。（动画演示剪拼的方法）仔细看，什么变了，什么没变？

生：形状变了，但是面积没变。

师：刚才借助方格纸，同学们确认了第二种算法。既然这种方法可行，那我们能否用这个方法再来算几个平行四边形？至于第一种算法为什么不对，待会我们再回头研究。

教师在方格纸上出示3个不同方向、不同大小的平行四边形（如图5所示），请学生口答面积，再分别将平行四边形剪拼成长方形以确认算法。

图5　

师：研究一个具体的平行四边形面积不是我们的终极目标，因为世界上还有形形色色的其他不同形状、大小的平行四边形。别忘了，我们还要写出它的算法。或者说，如果没有格子，也不动手剪拼了，我们怎么计算平行四边形的面积呢？

生8：我刚才注意到，我们每次剪拼，都是把平行四边形变成长方形。所以可以用平行四边形的底直接乘高。

师：谁听明白了她的意思？能不能谈一谈你的理解？

生9：将平行四边形剪拼成长方形，平行四边形只是形状变了，面积没变。可以用长方形的面积公式直接计算出面积。

师：那我直接在这儿写长乘宽吗？

生9：现在的长方形的长是由平行四边形的底变来的，长方形的宽就是平行四边形的高，所以可以写底乘高。

师：你们都听明白了吗？试着和你的同伴说说它的算法和缘由。

学生交流后，教师板书平行四边形面积的算法：平行四边形面积=底×高。

师：这节课，在全体同学的努力下，我们的研究告一个段落。关于我们今天研究的内容，谁还有疑问吗？

生1：老师，之前我的做法为什么不对呢？我也是将平行四边形变成长方形的啊！

师：你真是个富有钻研精神的孩子！我这里准备了一个平行四边形框架，请你上台和大家讨论一下！

（生1上台操作，拉动平行四边形框，使之变成长方形）

生11：你这样拉动是不行的，它的面积变了。

生1：没变啊！

生11：我来拉给你看！（将平行四边形框架一直往下压，面积接近零）你刚才看不明显，现在是不是可以看明显些？

生1：是的，确实面积变了。

师：两个孩子都了不起！我也为你们准备了一个演示。（课件演示在平行四边形上逐步叠加显示长方形，如图6所示）就算这个平行四边形的面积我不知道，但是我知道8×5可以被看成在算一个长是8、宽是5的长方形的面积，对吧？如果平行四边形的面积可以用底边8乘以斜边5，那就意味着它们的面积相等。实际上，它们的面积相等吗？大家仔细观察，你们发现了什么问题吗？

图6　

生12：长方形框架变成平行四边形后，宽变成了斜边，它的面积就变小了。

师：说得很好。正是这个原因，平行四边形不能沿用长方形邻边直接相乘的方法来计算面积。至于是不是还有其他新的算法，到了中学我们会进一步研究。

片段四：回顾梳理面积算法的研究方法

师：我们今天学习了什么内容？

生：平行四边形的面积。

师：它是怎样算的？

生：平行四边形的面积等于底乘高。

师：说得挺好！有同学在今天学习之前就知道平行四边形的面积计算公式吗？

生13：我以前看过书，知道它的计算公式，只是今天我才知道为什么要这么算。

图7　

师：知其然更知其所以然，了不起！学习中，“为什么这样”比“是什么”往往重要得多。现在，我们一起梳理回顾平行四边形的面积计算公式是怎么得到的。今天，我们在已学的长方形和正方形的面积计算公式基础上研究平行四边形的面积，首先做的是什么？

生：我们算了一个小平行四边形的面积。

师：是的。面对一个新图形，大家都提出了自己的算法，进而验证算法，找出缘由，并通过正确的计算概括了一个面积算法。随着我们的研究不断进行，已知面积算法的图形会越来越多。今后，我们还会学习更多的图形，如果要研究它们的面积，你们会怎么算呢？能谈谈吗？

生14：我知道以后还会学习三角形、梯形、圆形的面积，我们也可以在已知图形中找帮手。

练习略。除了基本的面积计算练习外，主要设计了体验等底等高三角形的变化这一练习。

三、讨论

1.为什么平行四边形面积公式的推导是学生第一次真正处理面积计算问题？

显然，学生此前学习过长方形面积的计算。但长方形面积的计算公式仅仅是根据面积和面积单位的定义直接得出的。正如长方形和正方形的周长（甚至所有直线图形的周长）的计算公式（如果有一个公式的话）都只是根据周长的定义直接得出的。直到处理圆的周长时，才是真正面临处理周长的问题。在处理平行四边形的面积时，学生第一次需要用到面积单位的定义之外的手段（比如割补）。从这个意义上说，我们认为平行四边形面积的计算是学生真正处理面积问题的第一课。

2.教学面积计算问题的第一课，需要注意什么？

说这节课是真正处理面积计算问题的第一课，就意味着后续还有更多节类似的课。作为第一节课的教学，要注意什么呢？我们认为，要帮助学生形成一种处理面积计算问题的基本范式：首先，考察问题，注意到自己当前掌握的相关知识、技能和方法；其次，创造条件把这些知识、技能和方法用到当前的问题中，尝试解决当前的问题；第三，当前被解决了的问题又成为新的知识，并形成新的技能和方法，而这些新的知识、技能和方法又成为解决下一个新问题的武器。如此不断前进。正如波利亚在《怎样解题》中谈到的那样：任何一个数学问题在被面对时，常常令解决者思索——见过吗？如果没见过一样的，见过类似的吗？几乎每一个数学问题的解决都建立在已有问题解决的基础之上。在我们谈以学生为主体的今天，与一个具体知识点的掌握相比，学生学会学习显然被放置在了更高的位置。从这个意义上讲，我们要用一节课带一类课。

具体到本课中，处理平行四边形的面积，当前只有长方形面积的相关知识、技能和方法可用。于是，有的学生通过类比直接将其应用到平行四边形的面积计算中（类比是很可贵的。尽管类比得到的结果不一定是正确的，但这也丝毫无损类比的可贵），而有的学生通过剪拼将平行四边形转化为长方形。这就完成了上述第一、二步。在此基础上，我们让学生理解：现在我们的“武器库”中又多了一个平行四边形的面积计算公式，还多了一个转化的方法。下次碰到新的图形问题（比如要计算三角形、梯形的面积）时，我们可以想办法转化成长方形、正方形、平行四边形的面积进行处理，只要能完成这种转化，就可以解决新问题，同时增加新“武器”。

3.这种思路可以迁移到其他内容的教学中吗？

这种一节课带一类课、帮助学生逐步掌握一些研究问题的基本范式的思路，可以迁移到其他内容的教学中。比如学习长方体和正方体序列知识，我们是先了解其各构成要素的基本关系，如对边如何，邻边如何，顶点如何，棱如何等，接下来研究立体图形表面积的计算，体积的计算。这就形成了在小学研究立体图形的基本范式，以后学习圆柱、圆锥和球等立体图形时，学生可以主动从这些方面着手研究。尽管有些问题不一定能解决，如球的表面积和体积等，但学生有了认识问题的基本范式，就能提出这些问题。这对培养学生的思维是大有裨益的。

（执笔：丁丽、徐旺、李闯）