“平行四边形的判定”原来可以这样教

连春兴（北京教育学院丰台分院）

李淑英（北京市门头沟区大峪中学西校区）

“平行四边形的判定”原来可以这样教

连春兴（北京教育学院丰台分院）

李淑英（北京市门头沟区大峪中学西校区）

为全面探究平行四边形的判定方法，利用三个课时完成“根据性质猜想判定、归纳分类简约猜想、正误甄别核实猜想”三项任务.在这一系列综合能力的训练中，学生不仅仅是知识的接受者，而且在教师的帮助下，可以更多扮演知识发生与发展的催生者.

探究成因；提出猜想；归类简约；甄别正误

《义务教育数学课程标准（2011年版）》倡导的数学课，很多时候要通过问题情境创设，使学生亲历数学活动，从数学的角度思考，借助直觉或合情推理，根据条件预测结果，或根据结果探究成因，直至通过演绎推理，以确认我们的发现.在这个过程中，学生是学习活动的实践者，是问题解决经验的积累者，甚至可以成为新知识的催生者.

但在实践中，达成这样的理想状态谈何容易？以“平行四边形的判定”的教学为例，如果按照“定理—证明—应用”的顺序展开，虽然其中也包含学生的实践观察与思维训练，但由于我们的实践平台、问题设计的局限性，学生很难广泛参与，下气力去探究“定理”的成因；同时由于教学中基本不涉及命题的证伪，削弱了证明是为了“排除怀疑”的意义，使许多学生心目中“证明”成了“走过场”.这样以定理的证明与应用为重心的教学，难免使学生陷入记忆与模仿的巢臼.

为了改进工作，笔者在任教年级对“平行四边形的判定”的教学，采用“问题导学”的方式，按照“根据性质猜想判定、归纳分类简约猜想、正误甄别核实猜想”三个步骤，进行了整体设计，虽然历经三个课时才完成（在基础好的学校可能不必），但实施过程顺利，收到了意想不到的教学效果.

一、教学方案

考虑到所教学校学生基础较弱的事实，我们对导学的“问题”设计得明确具体，以便于学生的广泛参与.

第1课时：由性质预测判定

问题1：如图1，已知▱ABCD，对角线AC，BD交于点O，试用简洁的符号语言，一一写出该平行四边形的性质.

图1

预设：先由学生回忆、回答，教师追问依据，然后整理写出如下8条结论.

（1）AB∥CD；

（2）AD∥BC；

（3）AB=CD；

（4）AD=BC；

（5）∠BAD=∠DCB；

（6）∠ABC=∠ADC；

（7）AO=CO；

（8）BO=DO.

【设计意图】过去，我们通常把提问平行四边形定义、性质定理，作为判定新课的引入，这对不善于语言表达的学生来说，要求无疑是高的.此处，我们先由学生写出符号语言，再由教师追问依据，“逼出”抽象语言的概括（即使不严格也没有关系），无疑降低了学习难度，即便是学生基础再差，经讨论凑齐上述8条也是可以做到的.

问题2：问题1告诉我们，如果已知一个四边形是平行四边形，它就具备上述8条，那么，反过来思考，

预设：如果学生认为具备上述8条的四边形是平行四边形，教师可引导学生讨论，最少具备几条就可以判断此四边形是平行四边形.相信学生经过讨论，一定会发现一个四边形如果满足上述8条中的（1）（2），根据定义，就可知这个四边形是平行四边形，还比较容易发现分别满足（1）（3），（2）（4），（3）（4），（7）（8）的四边形也是平行四边形，教师此时采用谁发现谁证明的方式，以激发学生的学习热情.第一节课完成上述任务，课后作业可预留问题3.

【设计意图】问题2的设计，把寻找确认一个四边形是平行四边形的判定方法的任务交给学生，给学生广泛参与、讨论搭建一个适宜的平台，以强化学生的学习主人翁意识.

第2课时：全面寻找判定方法

问题3：问题2的解决，使我们可以产生这样的疑惑，即如果一个四边形满足上述8条中的任意两条，它有没有可能是平行四边形？为了全面地、不遗漏地寻找平行四边形的判定方法，请同学们试着写出8条性质两两组合的所有情况.

预设：虽然学生没有系统学习过计数方法，但根据学生已有的学习经验，完成这28个组合的罗列，是不困难的，即使罗列不全，稍加提示，也可以解决问题.

【设计意图】如果我们的教学只功利地瞄准中考，对问题3的设定，也许有教师认为没有意义，但此处我们提出“全面而不遗漏地寻找平行四边形的判定方法”，揭示了研究数学问题的一般思路，渗透出解题过程中需要的一种研究问题的心态，而且问题不难，既立足于学生的经验基础，又着眼于学生的后续发展和综合素养的提升，突破了当前教学的局限，其意义是深远的.

问题4：在8条性质的28个两两组合中，同学们对满足（1）（3），（2）（4）的情况，已经证明得到判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.那么我们进一步观察，对满足（1）（5），（1）（6），（2）（5），（2）（6）这四对组合的情况，你能否归纳成一个命题（猜想）？再进一步，你能否把其余各种情况，也仿此做分类归纳？

预设：根据（1）（5），（1）（6），（2）（5），（2）（6）这四对组合可归纳为“一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形”.

最后通过小组讨论，把28个组合归类简约成如下11个命题.

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形［（1）（2）］.

（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形［（1）（3），（2）（4）］.

（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形［（1）（4），（2）（3）］.

（4）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形［（1）（5），（1）（6），（2）（5），（2）（6）］.

（5）一组对边平行,一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形［（1）（7），（1）（8），（2）（7），（2）（8）］.

（6）两组对边分别相等的四边形是平行四边形［（3）（4）］.

（7）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形［（3）（5），（3）（6），（4）（5），（4）（6）］.

（8）一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形［（3）（7），（3）（8），（4）（7），（4）（8）］.

（9）两组对角分别相等的四边形是平行四边形［（5）（6）］.

（10）一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形［（5）（7），（5）（8），（6）（7），（6）（8）］.

（11）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形［（7）（8）］.

【设计意图】通过观察归纳，把符号语言转化为文字语言的能力之于学好数学，是非常重要的能力.对八年级学生来说，依据量力性原则，把28种组合的归纳简约，是证明、证伪的基础，是实现教学意图的关键.考虑到过去的学习过程中，学生对如此大信息量的问题，进行大手笔的观察归纳的经验并不多，所以可以充分发挥小组讨论的作用，必要时教师帮助完善.

问题5：这11个命题，除命题（1）（平行四边形定义）无需证明，命题（2）（6）（11）前面已经证明外，对其余7个命题的真伪你能甄别几个？请写出你的结论.

预设：如果按顺序排查，学生通过举等腰梯形的反例否定命题（3），并证明命题（4）（5），这些问题都不大.第2节课完成上述任务，其余命题（7）（8）（9）（10）的排查留待课后思考，下节课解决.

【设计意图】甄别命题有助于理性精神的培养，是数学课独特育人功能的重要体现.此处问题5的设定，让学生亲身感受命题有真伪之别，真命题需要逻辑论证，假命题需要举反例否定.

第3课时：辨析命题真伪

预设：可先由学生汇报自己对命题（7）（8）（9）（10）的研究成果，教师点评、纠正、释疑.在上述4个命题中，最易解决的当属命题（9），学生由四边形两对角相等，根据四边形内角和为360°，较易想到同侧内角互补，于是，平行四边形得证.

命题（7）“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是伪命题，要否定它，学生举反例可能遇到困难，教师可提示从为什么“边、边、角”不能作为三角形全等判定定理的角度进行探究，如图2所示的方法，即在▱ABCD中，作CE=CA（注意点E可能在DA的延长线上，当DA与AC不垂直时一定存在），显然△DCE与△BAC满足“边、边、角”，但不全等，旋转△BAC至△FEC的位置，即可知四边形EFCD满足命题（7）的条件，但非平行四边形.

图2

命题（8）“一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形”也是伪命题，反例的构造我们可以采用如图3所示的方法，即在▱ABCD中，取BE=BC（同样点E可能在AC的延长线上），连接DE，则四边形ABED满足命题8“一组对边BE=AD，一条对角线BD被另一条对角线AE平分”的条件，但四边形ABED非平行四边形.

图3

更有趣味和研究价值的当数命题（10），虽然它不真，但它却可分别表述为如下一假一真的两个命题.

命题A：在四边形中，连接一组相等对角顶点的对角线被另一条对角线平分，则该四边形是平行四边形.

命题B：在四边形中，一组相等对角所对的对角线被另一条对角线平分，则该四边形是平行四边形.

在图4中，四边形ABCD是正方形，所以四边形ABCE满足命题A的条件，但显见四边形ABCE非平行四边形.所以命题A假，进而可知命题（10）假.

图4

命题B的证明可见图3，设∠BAD=∠BCD，BO=OD，若AO≠OC，不妨设OC＞AO，则可取OC上一点E，满足AO=OE，此时，根据命题（11）真，可知四边形ABED是平行四边形.所以∠BAD=∠BED=∠BCD.所以E，C两点重合.所以四边形ABCD是平行四边形.

【设计意图】组织好对命题（7）（8）（9）（10）的排查，无疑是一场“攻坚战”.在这个过程中，一定有一些学生感受到证明写不出、反例也举不出的纠结，在这样反复思索中，教师要根据学生情况，适时进行启发、引导，必要时可讲授.但无论如何处理，总不能背离培养学生研究者的心态、提升数学思维能力的初衷.

二、课后反思

1.教学设计是能否突出学生主体地位的关键

平心而论，实施这份教学方案时，我们曾经担心，对于多数习惯于被动接受、数学基础一般的学生来说，能否适应如此“反常”的教学？五个问题的解决过程能否由学生唱主角？如果凭着教师生拉硬拽、学生囫囵吞枣地完成学习过程，我们的设计意图一定难以实现，到头来，恐怕还不如传统教学方式（直接讲授）简便易行.实践表明，这种担心是多余的.

综观我们提出的五个问题，无不具有“入口虽宽，出口却严”的特征，也许正是由于这个特征，为基础参差不齐的全体学生提供一个展示自我的平台，绝大多数学生一改“被动接受”的学习方式，始终置身于主动学习、创造数学的过程中.

对于问题1，几乎全部由学困生相互补充完成.

对于问题2，学生并没有经历“具备8条，7条，……”的缩减过程，去判断是否满足平行四边形，而是很快发现满足（1）（2），即满足定义.特别是在教师“谁发现谁举证”的“政策”激励下，学生兴趣盎然，迅速完成了三个常用判定定理（即命题（2）（6）（11））的证明，第一节课的学习任务达到预期，满足了学习平行四边形判定的基本要求.

2.要注意发挥导学问题的“路标”与“拐杖”功能

回顾我们利用三节课的时间，历经“根据性质猜想判定、归纳分类简约猜想、正误甄别核实猜想”三个阶段，解决了五个问题，反思这五个问题，它揭示了知识从哪里来，到哪里去，合理发生、发展的内在逻辑（即使自圆其说也无妨），同时这五个问题的渐次提出还体现了人们解决此类问题思维活动的合理延伸与心路历程，所以导学问题“路标”的功能是显而易见的.

那么，何处体现出“拐杖”的功能？观察问题1中“性质的条目化”，为解决问题2“具备几条为平行四边形”提供了备选项；问题2的解决又为问题3提供了“具备两条可能是平行四边形”的经验；问题3明确了“为全面地、不遗漏地寻找平行四边形的判定方法”的努力方向，彰显了“写出8条性质两两组合”的意义；问题4的表述更是煞费苦心，两度给出不同组合归类简约的示例，其启发性的发问，透漏出教师希望学生把其他组合也类比简约的殷殷之情.这些无不体现出系列问题的“拐杖”功能.

凭借这根拐杖的帮助，学生表现出很高的积极性和创造知识的主人翁意识，虽然没学过组合知识，但全班学生竟然有三分之一以上得到问题3中的28个组合.对于问题4，按照设计意图，我们组织了学习小组的合作研讨，在限定时间内，全班6个小组中，有一组给出28个组合简约成11个命题的合理答案，其余5个组虽然没分完，但有3个组分成的10类中，竟然没有错误（看来相对其他问题的解决，观察归纳能力较为薄弱）.这些都说明，学生在拐杖的帮助下，有了正常的发挥.

3.组织好“主题研究”是引导学生学会思考、提升能力的重要手段

综观学生的学习过程，一节课的容量不一定是越多越好，因为真正的理解往往来自对少数主题深入的探讨，而不是来自对许多内容广泛的讨论.此处我们用三个课时研究了一个问题：寻找平行四边形的判定方法，表面看内容不多，但从问题解决的过程来看，学生的收获是多方面的.

其一，一改过去“线性单一的逻辑运演、解题训练”模式，经历了“探究成因—提出猜想—归类简约—甄别正误”的全方位综合训练过程，这恰恰揭示了数学知识发生、发展的规律和一般研究问题的方法，这种规律性与示范性，对学生后续学习的正面影响不容低估.

其二，随着5个问题的相继解决，学生必然亲历先见“森林”，后见“树木”的过程.试想，他们从平行四边形定义出发，渐次证明了其余六个真命题，尽管其中有些真命题我们不能要求学生作为定理来运用，但享受这个过程，绝不会影响学生体验数学知识从心理认同到逻辑建构，感受平行四边形概念体系的扩充，甚至初步领略近代数学依靠公理化思想，自身不断繁衍生息、由“少”到“多”的过程.特别是四个命题的证伪，使我们的思维活动更加丰满，能力提升高度空前，这富于挑战性的思维活动，甚至可能引发许多学生的心灵震撼，进而被数学严谨、和谐的魅力所折服，这其中蕴含着多么深刻的教育价值！又将产生多么大的后效应啊！

其三，三节课一气呵成、浑然一体，学生在学习过程中，不论一节课讲到哪里，学生都知道将要发生什么，自己下一步应该干什么，所以在实践中，学生对第一节、第二节的课后作业完成得都较好，这为后续课的深入讨论奠定了基础，大大提高了教学效益.虽然三个课时都没有安排平行四边形判定定理的运用练习，教学的重心从判定定理的应用转向了寻求平行四边形的判定方法，但实际上寻求中也有应用，特别是我们把定理的成因探究与正误甄别牢牢地捆在了一起的时候，学生享受的是一顿精神大餐.

课后，笔者听到学生一些议论，生1：“完成问题4时，我就没找着门，在小组同学的帮助下我才发现，原来好几个组合可以归纳成一句话.看来我们以前把符号语言转化为文字语言的练习较少，今后要加强.”生2：“虽然我数学成绩一直不太好，几个命题的正误甄别我只独立完成了4个比较容易的，但我却明白了一个道理，一个命题要么逻辑证明，要么反例否定，否则不能辨其真伪.”生3：“拿过一个命题，一开始总想证明它是真命题，受阻时也往往先怀疑自己没找到证明的思路，万般无奈之际，思路才开始游离于证明它和举反例否定它之间……，最后在老师帮助下，彻底明白了.”生4：“平行四边形的判定定理书上都写着呢，老师还非让我们找，找完了不算数，还要证，还要否，还要找全，真累啊！”

这朴实无华，甚至有些顽皮的话语，反映出他们真实的学习心态，这不禁让笔者突然悟出一个道理，学生不应该仅仅作为知识的接受者，更重要的是在教师的帮助下，尽可能扮演知识发生与发展的催生者、主宰者，这也许正是课堂教学所追求的至高境界！

［1］连春兴.谈“平行四边形判定”的教学设计［J］.北京教育学院学报，2005（1）：66-68.

［2］连春兴.再论“问题导学”［J］.中小学数学（高中版），2015（3）：1-6.

2016—09—01

连春兴（1954—），男，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.在上述8条中，具备几条就可以判断此四边形是平行四边形？试说明你的发现.