“常量与变量”课例及分析

邬云德（浙江省象山县教育局教科研中心）

“常量与变量”课例及分析

邬云德（浙江省象山县教育局教科研中心）

课堂教学应关注《义务教育数学课程标准（2011年版）》，但许多教师的教学与其存在偏差.鉴于此，笔者在对“常量与变量”进行重复式观课与反思基础上，将形成的教学经验进行实践，课后得到了同仁的认可.

常量与变量；教学方法；教学分析

一、背景介绍

教学设计应关注《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中课程内容的教学要求，但调研发现许多教师的教学与《标准》存在偏差.鉴于此，笔者对浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册“常量与变量”一节进行重复式观课与反思基础上，将形成的教学经验进行实践，课后得到了同仁的认可.现将其整理出来，以飨读者.

二、教学实录

环节1：经历再认表征物体量的过程——明确研究的对象.

师：我们过去在分析现实世界的各种现象时，遇到过各种各样静态条件下的量.例如，物体运动中的速度、时间和距离；圆的半径、周长和圆周率；购买商品的数量、单价和总价；……但世界是运动变化的，行星在宇宙中的位置随时间变化而变化，气温随海拔的变化而变化，树高随树龄增长而变化，……因此，在分析现实世界的各种现象时，还会遇到动态条件下的量.这种动态条件下的量有何特征？有何意义？这节课我们再来认识表征事物的量.

环节2：参与定义常量与变量的活动——形成常量与变量的概念.

师：如图1，圆柱形水杯的底面半径为5cm，高为10cm.现在老师慢慢地将热水注入水杯内（教师演示注水的过程）.问：在这个注水的过程中，哪些量的数值会不断改变？哪些量的数值是固定不变的？

图1

教师提示：可从数学、物理等多角度进行分析.

生1：水杯内水的高度会不断改变，水杯内水平面的半径、水平面的面积是固定不变的.

生2：水杯内水的质量会不断改变，水杯的高度、水杯的体积是固定不变的.

生3：水杯中水对水杯底面的压强会不断改变，水的密度是固定不变的.

生4：注水的速度是不断改变的量，水的温度也是不断改变的量.

师：好！从不同的角度看问题是数学活动的基本经验.

师：一般地，在一个运动变化的过程中，固定不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量.例如，上述注水过程中的水杯内水平面的半径、水平面的面积等是常量；上述注水过程中水杯内水的高度、水的质量等是变量.

环节3：参与巩固概念的活动——合作解答有代表性的问题.

师：现在请大家合作解答下列问题.

问题1：声音在空气中传播的速度vm/s与温度t℃之间有关系式v=331+0.6t.问：

（1）在声音传播的过程中，哪些量是变量？

（2）变量v是随着哪个量的变化而变化的？

（3）当t=10时，v是多少？其实际意义是什么？

约1分钟后.

师：谁来回答第（1）小题？

生5：温度t和声音在空气中传播的速度v是变量.

师：不错.谁来回答第（2）小题？

生6：变量v是随着温度t的变化而变化的.

师：不错.谁来回答第（3）小题？

生7：当t=10时，v=337.其实际意义是：当温度是10℃时，声音的传播速度是337m/s.

师：好的.这个问题中变量之间的变化关系是用符号（数字和字母）来表示的.

问题2：表1是我国人口数统计表，其中x表示年份，y表示人口数.

表1

问：（1）在统计人口数的事项中，x和y表示的量是变量还是常量？为什么？

（2）变量y是随着哪个量的变化而变化的？

（3）当x=2010时，y是多少？其实际意义是什么？

（4）你通过阅读表格中的数据，对我国人口问题有何感触？

约2分钟后.

师：谁来回答第（1）小题？

生8：在这个变化的过程中，x和y表示的量是变量.因为x和y可以取不同的数值.

师：不错.谁来回答第（2）小题？

生9：变量y是随着年份x的变化而变化的.

师：好的.谁来回答第（3）小题？

生10：当x=2010时，y=13.71.其实际意义是：我国2010年的人口数是13.71亿人.

师：好的.谁来回答第（4）小题？

生11：我国人口数太多了，应该实行计划生育政策.

生12：现在计划生育政策放宽了，人口增加速度会更快.

师：好的.这个问题中变量之间的变化关系是用表格来表示的.

问题3：图2描述的是一家快递公司的收费标准.其中t表示邮件的质量，p表示每件快递费，n表示快递邮件的件数.问：

图2

（1）在投寄快递邮件的事项中，t，p，n是常量，还是变量？

（2）当t=6时，p是多少？当t=10时，p是多少？当t=12.5时，p是多少？

（3）若0＜t≤10，投寄n件邮件的快递费记为w，此时t，p，n，w中哪些是常量？哪些是变量？

师：谁来回答第（1）小题？

生13：t，p，n都是变量.

师：好的.谁来回答第（2）小题？

生14：当t=6时，p=6；当t=10时，p=6；当t=12.5时，p=9.

师：图中实心点与空心点的含义分别是什么？

生14：实心点表示在变量变化关系的图象上，空心点表示不在变量变化关系的图象上.例如，当p=10时，其对应点是实心点而不是空心点.

师：好的.谁来回答第（3）小题？

生15：若0＜t≤10，则p为常量，t，n，w均为变量.

师：好的.这说明常量与变量相对地存在.这个问题中变量之间的变化关系是用图象来表示的.

师：现在老师提出几个反思性问题，请大家思考并回答.

师：上述问题中的变量是在怎样的条件下产生的？

生16：这些变量都是在变化的过程中产生的.

师：好的.上述问题中描述变量之间的变化关系有几种方法？

生17：有三种方法：可用符号（数字与字母）表示（如问题1）；可用表格表示（如问题2）；可用图象表示（如问题3）.

师：好的.这三种表示变量之间变化关系的方法以后会经常用到.

师：问题1中求v的值用的是什么方法？问题2中求y的值用的是什么方法？问题3中求p的值用的是什么方法？

生18：求v的值用的是代入计算法；求y的值用的是查表法；求p的值用的是作图法.

师：好的.这三种求变量值的方法以后也会经常用到.

师：大家能举几个常量和变量的例子吗？请大家多角度思考并给出尽可能多的例子.

师：谁来说说自己所举的例子？

生19：在购买水果时，若销售价不变，则应付款与购买量有关.在这个过程中，销售价是常量，购买量和应付款是变量.

师：若应付款不变，则购买量与销售价有关.这时常量和变量分别是什么？生19：这时应付款是常量，购买量和销售价是变量.师：因此，常量与变量是相对地存在的.请大家继续说说自己所举的例子.

生20：当石子投入平静的水面时，会产生一系列圆形水波.在这个过程中，圆形水波的半径和圆形水波的面积是变量，求面积时用到的圆周率是常量.

生21：我每天上学都是采用步行的方式.在步行过程中，我家与学校的路程是常量，步行的速度和所用的时间是变量.

生22：如图3，当点P在边BC上运动时，边AB，BC，AC和△ABC的面积是常量；线段BP、线段AP、△ABP的面积等是变量.

图3

……

师：好的.这说明常量和变量具有普遍存在性.

环节4：参与回顾与思考的活动——合作进行反思与总结.

首先，教师出示下列问题清单，并要求学生围绕问题清单进行回顾与思考.

（1）本节课研究了哪些内容？我们是怎样研究的？

（2）何谓变量？变量是怎样产生的？为何研究变量？

（3）你觉得还可以进一步研究什么？

其次，教师组织学生合作交流，并留给学生足够的交流时间.

第三，在此基础上，教师进行总结性讲解.常量与变量都是表征事物的量，常量的特征是在运动变化的过程中固定不变，变量的特征是在运动变化的过程中会不断改变；变量是在运动变化的过程中产生的，常量与变量是相对地存在的；表示变量之间的变化关系有三种方法（用数字和字母表示，用表格表示，用图象表示），求变量的值有三种方法（代入计算法，查表法，作图法）；由于万物皆变，所以变量及变量之间的变化关系问题具有普遍存在性.利用常量之间的关系（代数式、方程、不等式）可以解决许多实际问题，利用变量之间的变化关系也能解决许多实际问题.

三、教学分析

“常量与变量”一节要求学生探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量与变量的意义.

尽管“常量与变量”一节的内容比较单薄，但它是一节体验性学习，并有为学习函数概念做铺垫之意.本节课根据《标准》，将其教学立意于“再认、体验、渗透”.在参与定义常量与变量的活动的教学中，选用了学生比较熟悉的注水情境.尽管这个注水情境没有多大的教育意义，但在教师认知提示下，学生通过探索能分析出许多数学属性和物理属性的量.这既能满足学生归纳常量与变量特征的需要，又渗透了多角度看问题的观点，同时在分析过程中有能力发展个性和创新精神培养点，这体现了《标准》的要求.在参与巩固概念的活动的教学中，以三个有代表性的实际问题为载体，运用教师价值引导与学生自主建构相结合的方法，引导学生经历了完整的认知过程——既有辨别、求值、思考等过程，又有解答问题之后的反思与举例的过程.这能满足巩固概念，发展技能，体会常量与变量相对地存在，渗透表示函数有三种方法和求函数值有三种方法，感悟常量与变量具有广泛存在性，以及世界是运动变化的，事物是相互联系的观点等的需要.

总之，课堂教学要基于《标准》，而本节课选用的载体与方法体现了《标准》的要求，也体现了过程教育和以学为中心的思想，能满足学生感悟变量和函数思想及发展能力与个性的需要.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］范良火.义务教育教科书·数学（八年级上册）［M］.杭州：浙江教育出版社，2013.

［4］姜晓刚.基于数学实验的三角形的中位线定理的探究：一节江苏省“教学新时空”研讨课的设计与反思［J］.中学数学（初中版），2015（10）：56－59．

2016—08—12

邬云德（1956—），男，中学高级教师，浙江省特级教师，主要从事数学教育教学研究．