思想探索图形面积——《三角形》和《梯形》面积公式推导的整合设计

张 琦

【设计缘由】

平行四边形、三角形和梯形的面积计算是在学生掌握了这些图形的特征以及长方形、正方形面积计算的基础上学习的。多边形的面积计算是以长方形面积计算为基础，以图形内在联系为线索，以未知转化为已知的基本方法开展学习的。

运用转化的方法推导面积计算公式，可以有多种途径和方法。但是原有的教学设计，大多按照教材的安排，将三角形和梯形转化成已学过的图形，主要是用两个同样的三角形或梯形拼摆的方法开展面积公式的推导。

【设计片断】

在《预习单》的运用中，培养学生的转化意识。

【设计意图：有了推导平行四边形面积计算公式的经验，学生会有一种内驱力，渴望并且相信自己可以把三角形转化成为已经知道面积计算公式的图形，从而推导出三角形的面积公式，体验学习的成就感。这里通过课前《我的预习单》的学习方式，既培养了学生提前预习新课的习惯，又渗透了利用身边学习资源进一步学习的思想；既给予了学生充分的学习、思考时间，又可以让学生在不断尝试了解多种推导方法中深入渗透转化思想，让学生经历将未知转化为已知的过程，为教学中方法的充分展开做好铺垫。】

【设计片断】

在小组合作中，进行转化的深入探究。

利用教师提供的这些三角形，来进一步验证。看看我们能不能把三角形转化成我们所学过的图形呢？请同学们小组合作，想一想、拼一拼、剪一剪，并填写好《实验报告单》。

合作要求：小组讨论思考：（1）你们所选择的三角形种类和数量，能转化为其他图形吗？把你们转化的图形粘贴在白纸上。（2）转化成的图形面积你会计算吗？（3）现在的图形与原来的三角形有什么联系？（4）看能不能推出三角形面积的计算方法。

实验报告单

三角形的形状（画出简易图）转化的过程和方法（文字或示意图记录）所转化成的图形（画出简易图）1 2 3 4

我们的发现：____________

【设计意图：通过之前的预习，学生对于把三角形转化成学过的图形以及怎样转化已经有了一个初步的理解和认识，课堂上借助小组合作，充分讨论和探究，进行思维的碰撞，在动手操作和实验中，进一步发现三角形与平行四边形、长方形、正方形的关系，推导出三角形面积计算公式。在这个小组合作活动中，教师所提供的三角形是各种各样的，从而让学生体会，只有相同的两个三角形才能拼出平行四边形或长方形、正方形。无论是拼组法还是割补法，在我们可能转化出的多种不同图形中，只有转化成长方形、正方形和平行四边形才能推导出三角形的面积。同时，满足不同学习水平的学生都有不同程度的收获和提升。】

【设计片断】

在梯形面积探究中，灵活运用转化。

1.初步猜测。

两种方法：（1）把一个梯形剪拼成已学过的图形；（2）用两个完全一样的梯形拼摆成已学过的图形。

2.实验探究。

小组合作，自由选择以上两种方法之一进行证明，并填写探究活动报告。

我选择的方法所需材料转化的图形两者之间的联系我的结论

3.交流讨论。

（1）让学生边介绍并把图形张贴在黑板上。

（2）过程梳理。

①用两个梯形拼摆。

重复操作过程：梯形（重叠）→旋转→平移→平行四边形。

重点观察图形联系：这个平行四边形的底和高与梯形的底和高有什么关系？

②用一个梯形剪拼。

重复操作过程：梯形→切割→移补→长方形或平行四边形。

重点观察图形联系：这个长方形的长和宽或平行四边形的底和高与梯形的底和高有什么关系？

4.归纳公式，用字母表示并板书。

【设计意图：由于有平行四边形和三角形面积公式的推导经历，梯形面积公式的推导不是难点，但是要求有所提高。让学生自主地用学过的方法推导梯形面积计算公式，这里仍然要运用转化的方法，把梯形转化成学过的图形。可以用割补法，将梯形分割成两个三角形或者一个平行四边形和一个三角形，也可以用拼摆的方法，拼成平行四边形进行推导。其中用两个一样的梯形拼成一个平行四边形的方法，比较容易推导和理解；另一种割补法的深入研究，更能为后面的组合图形面积计算做好充分的铺垫。】

【成效反思】

1.感悟“转化”思想，唤起学生的转化意识。

“转化”是数学学习和研究的一种重要思想方法，在这一单元的学习中发挥着积极的作用。在三角形和梯形的面积计算公式的推导中，无论是拼摆法，还是割补法，都是将所研究的图形转化为已经会计算面积的图形。教学中注重突出“将未知转化为已知”的基本转化思想，让学生通过操作，将所研究的图形转化为已经会计算面积的图形，探究所研究的图形与转化后的图形之间的联系，从而找到所求图形面积的计算方法，促进知识的迁移和学习能力的提高。随着学生推导面积公式的方法越来越多，在拼摆法的基础上，更能充分利用割补法进行探究，学习到梯形面积推导时，转化思想游刃有余。

2.自主探究，经历转化多样化的全过程。

无论是《预习单》的充分利用，还是教学过程中小组合作的充分开展，都是为了给学生留有充分探索面积计算方法的空间和时间，注重突出学生自主探索的活动性。各类图形面积计算公式的推导均采用让学生动手实践，剪一剪、拼一拼、摆一摆，先将图形转化为已经学过的图形，再通过合作学习的方式，探索转化后的图形与原来图形的联系，从而发现新图形的面积计算公式这样一个过程。同时，按照学习活动的递进性，对学生探索的要求逐步提高。在平行四边形的面积推导的基础上，三角形的面积公式推导借助预习和课堂小组合作完成。有了平行四边形和三角形的面积学习，学生对于拼摆法和割补法有了更进一步的了解，梯形面积则要求学生综合运用学过的方法小组合作自主推导。在探究的过程中，学生们都积极参与到各项活动中，认真思考、动手实践，在不断的验证、探究中体验到学习的乐趣和成就感。对于自己推导出来的面积公式更加记忆犹新，比死记硬背面积公式来的高效多了。

3.利用转化，突破教学中的易错点。

以往在面积计算的实际运用中，不难发现在计算三角形面积和梯形面积时，学生经常会忘记除以2。所以这次的教学中，我非常注重运用推导方法的多样性来要引导学生对“÷2”的理解，加深印象。从拼摆法角度看，让学生明确用两个相同的三角形或梯形拼成的图形，三角形或梯形的面积是这个图形的一半，所以要除以2。从割补法角度看，就更多样了：

随着推导公式的不断深入理解，对于“除以2”的了解也会更加深入，在实际应用中，正确率明显提升。

数学的学习，教师除了教给学生必备的数学知识以外，数学方法、数学思想的渗透尤为重要，也希望在教学中学生能真正体会到数学学习的意义和快乐。