分裂四元数线性方程组的Cramer法则

王茂香，姜同松，张兆忠

(1.曲阜师范大学 管理学院，山东 日照 276826；2.菏泽学院 理学院，山东 菏泽 274015；3.临沂大学 理学院，山东 临沂 276005)



分裂四元数线性方程组的Cramer法则

王茂香1，姜同松2，3，张兆忠3

(1.曲阜师范大学 管理学院，山东 日照 276826；2.菏泽学院 理学院，山东 菏泽 274015；3.临沂大学 理学院，山东 临沂 276005)

本文借助分裂四元数的复表示方法，给出了分裂四元数矩阵的行列式和逆矩阵的定义及性质，并得到了求解分裂四元数线性方程组的Cramer法则.

分裂四元数；线性方程组；复表示；Cramer法则

1 引言

1849年，James Cockle研究了分裂四元数集合，表示为以下形式：

Hs={q=q1+q2i+q3j+q4k；q1,q2,q3,q4∈R}，

(1)

其中i2=-1，j2=k2=1，ijk=1.分裂四元数环是结合代数和不可交换的4维Clifford代数，并且它包含零因子，幂零因子和非平凡的幂等元[1-4].

当物理学家们在研究复合经典力学和Non-Hermitian量子力学的关系时，他们发现四元数力学和四元数力学有惊人的联系[5-8].主要发现是，在过去几十年里，被广泛研究的带来实能量的复合力学系统可以看作是潜在的实力学系统的分裂四元数力学的推广[8-11]，这一发现使运用四元数和分裂四元数的代数方法去解决复合经典力学中富有挑战性的开放性问题成为可能.

在研究分裂四元数力学及其应用时(如文献[12-13])，经常需要求解分裂四元数线性方程组.由于分裂四元数乘法的非交换性，给这方面的研究和应用带来了很大的困难.在文献[14-15]中，Jiang首次引入了友向量的概念，借助四元数的复表示方法，研究了四元数线性方程组的求解问题，并给出了求解此问题的Cramer法则，本文通过利用分裂四元数的复表示，定义了分裂四元矩阵的行列式的概念，并基于行列式的理论，讨论和研究了分裂四元数代数上矩阵的逆矩阵和Cramer法则.

2 分裂四元数矩阵的实表示

对任意x=x1+x2i+x3j+x4k=(x1+x2i)+(x3+x4i)j=y+zj∈Hs，其中x1,x2,x3,x4∈R，y,z∈C，i2

(2)

和

(3)

(4)

(A+B)C=AC+BC，(αA)C=αAC，

(5)

(AD)C=ACDC，

(6)

定理1 Hs.

3 分裂四元数矩阵的行列式、逆矩阵和Cayley-Hamilton定理

本部分，借助分裂四元数的复表示定义，讨论了分裂四元数矩阵的行列式、逆矩阵和Cayley-Hamilton定理.

det(A)=det(AC).

(7)

det(AB)=det(A)det(B).

(8)

adj(A)=(adj(AC))C-1.

(9)

(Aadj(A))C=AC(adj(A))C=det(AC)I2n，

(10)

并且由定义1和复表示AC的定义，Aadj(A)=det(AC)In=det(A)In.同理可得，adj(A)A=det(A)In.因此，可得如下结果：

(1)Aadj(A)=adj(A)A=det(A)In；

(2)A可逆当且仅当det(A)≠0，且当矩阵A可逆时

(11)

这个定理给出了一种判断分裂四元数矩阵是否可逆和求其相应逆矩阵的简单方法.

由分裂四元数矩阵的行列式的定义，给出如下定义.

FA(λ)=det(λIn-A)=det(λCI2n-AC).

(12)

显然，由复数域C上的Cayley-Hamilton定理可得：

易知，复数域C上的Cayley-Hamilton定理是上述定理的特例.

4 分裂四元数线性方程组的Cramer法则及算例

在这一节中，借助复表示定义，研究并给出求解分裂四元数线性方程组

Ax=β

(13)

由复表示定义(2)和(3)知，Ax=β当且仅当ACxC=βC.即，Ax=β有解x当且仅当ACY=βC有解Y，且Y=xC.

(14)

(15)

其中D2t-1和D2t分别是把det(AC)的第2t-1列和第2t列换为βC的第一列所得的行列式.

令

(16)

则由复表示定义，分裂四元数线性方程组Ax=β有唯一解

(17)

综上所述，可得如下结果.

(18)

其中

(19)

其中D2t-1和D2t分别是把det(AC)的第2t-1列和第2t列换为βC的第一列所得的行列式.

(20)

其中△t是把det(A)的第t列换成复向量β后所得的行列式.因此，上述分裂四元数环上的Cramer法则是复数域上的Cramer法则的推广.

例1 解分裂四元数线性方程组Ax=β，其中

我们将用两种方法解上述方程组.

方法1：借助Cramer法则，首先，由复表示的定义计算出AC和βC，

并且det(A)=det(AC)=-5≠0，D1=-5-5i，D2=0,D3=0，D4=-10+5i.由分裂四元数环上的Cramer法则可知，所求线性方程组有唯一解，

所以，Ax=β的唯一解为

x=(1+i,2j+k)T.

方法2：借助逆矩阵，由复表示AC的定义，容易计算出AC的伴随矩阵adj(AC)，

因此，Ax=β的唯一解为

5 小结

本文通过分裂四元数矩阵的复表示方法，将分裂四元数环上的矩阵的行列式、矩阵的逆、Cramer法则和Cayley-Hamilton定理归结为复数域上的相应问题，把分裂四元数环上的非交换分裂四元数问题巧妙地归结为复数域上的可交换的复数问题.因此，上述结论和方法大大简化了分裂四元数力学中的数值计算问题，使得相应的计算机处理也成为可能，相信上述数学方法将会对现代分裂四元数力学的发展起到十分重要的推动作用.

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Cramer Rule for Split Quaternionic Linear Equations

WANG Mao-xiang1, JIANG Tong-song2, 3, ZHANG Zhao-zhong3

(1. School of Management, Qufu Normal University, Rizhao, 276826;2. School of Mathematics, Heze University, Heze, 274015;3. School of Mathematics, Linyi University, Linyi, 276005, China)

In this paper, by means of complex representation of split quaternion matrix, we propose a new definition of determinant for a split quaternion matrix, and derive a technique of finding an inverse matrix of an invertible split quaternion matrix. Moreover, the Cramer rule for split quaternionic linear equations is obtained in split quaternionic quantum theory.

split quaternionic; linear equation system; complex representation; Cramer rule

2016-09-27

国家自然科学基金项目NSFC(11301252)；山东省自然科学基金项目(BS2015DX012)

王茂香(1991-)，女，山东临沂人，曲阜师范大学管理学院硕士研究生.

O151

A

1672-2590(2016)06-0037-05