中考数学复习中进行分类思想教学的尝试*

2016-12-20 15:17:34广东省佛山市南海区大沥镇初级中学528231谭铸权

中学数学研究(广东) 2016年22期

广东省佛山市南海区大沥镇初级中学(528231)谭铸权

中考数学复习中进行分类思想教学的尝试*

广东省佛山市南海区大沥镇初级中学(528231)谭铸权

《全日制义务教育数学课程标准(2011版)》在“课程基本理念”部分指出,“(数学课程内容)不仅包括数学的结果,也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法”;在总目标部分指出,“通过义务教育阶段的数学学习,学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”.由此可见,“数学思想”不仅是数学课程的重要内容,也是数学学习的一个基本目标.笔者现以分类讨论的数学思想为例,谈谈在中考复习教学方面的一些尝试.

1　明确分类原则,使学生明确进行分类讨论是“有法可依”的

在初中数学的教学过程中有大量的例题和习题都需要学生运用分类讨论思想进行解决的.教师在日常的解题教学中应当有意识地渗透分类讨论的标准或原则,使学生明确解题时进行分类讨论是“有法可依”的.如何分类?分类讨论有什么原则?这是摆在我们面前的现实问题.我们知道分类讨论的原则有很多,在初中阶段笔者认为实操性强并且较适合初中学生解题的分类讨论原则有以下四条:

(1)同一性原则;(2)完整性原则;(3)互斥性原则;(4)层次性原则.

实施建议:在日常的教学中教师可以通过概念或定义的讲述、定理的证明、公式的运用、例题评讲和习题练习等途径逐步渗透利用分类讨论的思想进行解题时要遵循的原则,以期让他们在解题时能适时并合理地运用分类思想解决问题.

2　深挖教材内容,使学生明确常见分类讨论的知识母源

现行教材中,虽然并没有明确地揭示和总结数学思想方法,数学思想方法只是蕴含在数学知识体系之中,但教师可以引导学生通过深挖和重组教材的知识点,使学生明确哪些数学知识蕴含着分类讨论的思想.

成果举隅:笔者在中考第一轮复习教学的过程中让学生以表格的方式按《数与式》、《方程与不等式》、《函数》、《几何与证明》和《统计与概率》等五个板块分类呈现将课本中蕴含着分类讨论思想的知识点尽可能列举出来,以下呈现的是学生提交作业的部分成果:

表1　

通过这样的表格方式,要求学生进行完善和补充能将课本中蕴含着需要进行分类讨论的“知识母源”呈现出来,这样既培养了学生的归纳能力又能使其在日后的生活或考试中遇到相关的内容时能条件反射用分类讨论的思想解决问题.

3　通过多种方式,培养学生运用分类讨论的能力

3.1精心设计教学过程,使学生体会分类讨论的必要性

分类讨论思想的获得不能简单地通过走马观花式的解题来实现或灌输完成,它需要教师在充分了解学生学情的基础上,精心设计教学过程,透过“庖丁解牛”式的练习和讲解才能使学生逐步体会分类讨论的必要性.

例:已知点A(2,y1),B(1,y2),C(-1,y3),D(-2,y4)都在反比例函数的图象上,比较y1,y2,y3,y4的大小.

变式1:已知点A(2,y1),B(1,y2),C(-1,y3), D(-2,y4)都在反比例函数的图象上,比较y1,y2,y3,y4的大小.

变式2:已知点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函数的图象上,且x1＜x2＜x3＜0比较y1,y2,y3的大小.

变式3:已知点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函数的图象上,且x1＜x2＜0＜x3比较y1,y2,y3的大小.

变式4:已知点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函数的图象上,且x1＜x2＜x3比较y1,y2,y3的大小.

师:可以将A、B和C点的位置用分类讨论的思想分为若干种情况逐个击破不就解决了吗?点A、B和C点的位置可以分为哪几种情况?

(学生有恍然大悟的感觉!)

生2:我们可以对点A、B和C点的不同位置进行分类讨论(如图1-4),得出三种解答情况为:

(1)(如图1和2)当0＜x1＜x2＜x3或x1＜x2＜x3＜0时,y3＜y2＜y1;

(2)(如图3)当x1＜x2＜0＜x3时,y2＜y1＜y3;

(3)(如图4)当x1＜0＜x2＜x3时,y1＜y3＜y2.

图1　

图2　

图3　

图4　

师:生2同学的解答非常好、很完整,通过以上的练习同学们有什么收获?

生:我们可以发现在比较反比例函数值大小的时候,如果k的值和所给的点的位置不确定,那么必须要分别对它们进行分类讨论.

师:你们的总结都很好,其实在我们日常的练习中很多问题都需要根据题目的特点和实际背景进行分类讨论.请同学们课后完成变式5,体会分类讨论的思想:

变式5:已知点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函数的图象上,且x1＜x2＜x3比较y1,y2,y3的大小.

3.2剖析题目特点,培养学生分类讨论的意识

学生运用分类讨论的思想方法进行解题的能力不是“与生俱来”的,需要教师在日常的解题教学中有意识地培养,也只有教师培养学生分类的意识,然后才能引导学生在合理分类的基础上进行讨论.笔者认为深入剖析题目特点是培养学生分类的意识的较好做法.常见有以下三种做法:

(1)分析题目的表述方式,合理分类

例:已知:A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2),求点D的坐标,使以A、B、C和D为顶点的四边形是平行四边形.

分析:以A、B、C和D为顶点的四边形是平行四边形有三种情况分别是平行四边形ABD1C、平行四边形ABCD2和平行四边形ACBD3(如图5所示).如果将题目的表述方式变为“已知:A(-1,0)、B(2,0)、C(0,2),求点D的坐标,使四边形ABCD是平行四边形”,由于题目的表述方式改变了,题目已经将四边形的形状固化为平行四边形ABCD,各顶点的顺序确定了无需进行分类讨论,这样的对比有助于培养学生把握分类讨论的时机.

图5　

(2)分析题目的类型,合理分类

如果题目中含有字母或图形运动的时候要有分类讨论的意识,这是由字母可以代表正数、0或负数以及图形运动时会产生不同的形状所决定的.

例1:解关于x的不等式ax+3＞2x+a

分析:通过移项、合并同类项,不等式化为(a-2)x＞a-3,根据不等式的性质,需要对a-2进行分类讨论.

例2:如图6,边长为1的正方形ABCD,点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动,点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向点B运动,当一个点到达点B时,另一个点也随之停止运动,设△AMN的面积为S,运动时间为t秒,求S与t的函数关系.

分析:本题可以按点N在不同位置分为以下三种情况:

(1)当点N在AD上运动时,如图7;

(2)当点N在CD上运动时,如图8;

(3)当点N在BC上运动时,如图9,进行讨论.

图6　

图7　

图8　

图9　

(3)分析题目的是否具有前面所说的“知识母源”,合理分类

例:若等腰三角形的两个角度的比是1:2,则这个三角形的顶角为()

分析:题目中的两个角有可能是等腰三角形的顶角或底角,符合前述所说的分类“知识母源”因此要分类讨论.

3.3划分阶段循序渐进,培养学生的分类讨论能力

我们知道对于一种思想方法的领悟不是一蹴而就的,需要经历一个由浅入深、循序渐进的过程的.相对于刚进入初中不久的学生而言,九年级毕业生虽然在数学知识面和数学思维能力上都有较大的提高,但是由于之前老师的教学不到位或自身对数学思想方法学习的意识不够,容易造成学生运用数学思想解决问题能力不强,因此在中考复习教学中必需渗透数学思想的教学,此过程可以分为以下三个阶段进行.

第一阶段:重点训练学生对课本概念的内涵与外延、法则或公式的变换、定理的适用范围等的掌握程度,所选题目内容较为基础,题型一般以选择题或填空题为主.

例:已知直角三角形的两边分别是4和5,则第三边的长度为___.

分析:题目中的边长为5的边有可能是直角边也有可能是斜边,因此要分类讨论.

解题策略:是弄清楚课本概念的内涵与外延、法则或公式的变换、定理的适用范围.

第二阶段:重点训练学生的分类讨论意识和书写格式,所选题目中一般含有字母而需要分类讨论,题型一般以较为简单的解答题为主.

例:已知方程m2x2+(2m+1)x+1=0有实数根,求m的取值范围.

分析:要对m2进行合理分类:“m2=0”或“m2≠0”从而得出最后的结果.

解题策略:分清字母表示的意义,合理分类.

第三阶段:重点训练学生的分类讨论思维和掌握解题的规律,这阶段以动态问题为主,题型可以是较为综合性的选择题、填空题或解答题.

例:如图10,Rt△NPM中,∠P=90°,PM=PN, MN=8cm,矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm,点C和点M重合,BC和MN在一条直线上.令Rt△NPM不动,矩形ABCD沿MN所在的直线向右以1cm/s的速度移动(如图11所示),直到点C与点N重合为止.设移动t秒后,矩形ABCD与△NPM重叠部分的面积为S,求S与t之间的函数关系式