匀速和变速运动时声波多普勒效应公式的推导

李云梅 余太会 蔡武德

(云南师范大学物理与电子信息学院 云南 昆明 650500)



匀速和变速运动时声波多普勒效应公式的推导

李云梅 余太会 蔡武德

(云南师范大学物理与电子信息学院 云南 昆明 650500)

给出了波源和观察者在匀速和变速运动情况下声波多普勒效应公式的详细推导过程.结果显示，无论观察者和波源做匀速运动，还是做变速运动，对应的多普勒效应公式都是相同的.

多普勒效应公式 声波 匀速运动 变速运动

近年来对多普勒效应[1]的研究越来越多，有研究波源和观察者都做匀速运动时多普勒效应的[2]，有研究通过检测运动物体反射波的频率变化来测量运动物体速度的[3]，有研究超声波测速原理的[4]，也有研究非惯性运动下声波多普勒效应的[5].

1 匀速运动条件下声波多普勒效应的讨论

假定声源S,观察者B的运动发生在两者的连线上，两者均做匀速运动，介质相对于地球是静止的.设声源相对于介质的运动速率为vS，观察者相对于介质的运动速率为vB，以u表示声波在介质中的传播速率，以ν表示波源振动频率，以T表示声波在介质中的传播周期，设ν′表示探测频率.规定：声源向着观察者运动时，vS取正值；声源背离观察者运动时，vS取负值；观察者向着声源运动时, vB取正值；观察者背离声源运动时，vB取负值；声速u总是取正值.下面分3种情况进行讨论.

1.1 声源不动观察者相对于介质做匀速运动

当观察者向着声源以速率vB运动(以地面为参考系)时，vB为正值，因观察者以不变的速率vB迎向声源运动，相当于声波以u+vB的速率通过观察者.所以观察者接收到的声波频率为(波长λ不变)

(1)

当观察者背离声源运动时，式(1)可适用， 只不过vB为负值，对应的频率ν′<ν，即观察者接收到的声波频率ν′小于声源的振动频率ν.特别是当时观察者速率vB=-u，ν′=0，这相当于观察者随声波的波阵面一起运动，也就接收不到声波.

1.2 观察者不动声源相对于介质做匀速运动

声源以速率vS向着观察者做匀速运动(以地面为参考系)，如图1所示，这时vS>0，假定vS

图1 声源相对观察者匀速运动示意图

由于声源是做匀速运动，所以挤压均匀，波形并无畸形，只是波长变短，其值为

λ′=λ-vST=uT-vST=

(2)

这时波相对于观察者的速率仍是u，因此，观察者在单位时间内接收到声源的频率由于波长的缩短而增大，接收到的频率变为

(3)

如果声源背离观察者运动，则波长变长，频率ν′减小，式(3)仍然适用，但vS为负值，这ν′<ν时，即观察者接收到的频率比声源的频率降低了.因此，火车离去时鸣笛音调会变低.

1.3 观察者和声源同时相对于介质做匀速运动

(4)

两者相互离开时，式(4)仍然适用，只需对vS和vB按规定取负值即可，即

(5)

总结以上关于声波多普勒效应的3种情况，可以得到观察者和波源做匀速运动情况下的一个普遍公式

(6)

2 变速运动条件下声波多普勒效应的讨论

2.1 波源不动观察者相对于介质做变速运动

观察者不动时，波在dt时间内将传播udt的距离，其中包含的波数设为dN1，这些波数将被观察者所接收.波数与传播距离之间有如下关系

(7)

其中λ为波在介质中的波长.当观察者相对于介质向着波源运动时，设经过dt时间内运动的距离为ds，所包含的波数设为dN2，这些波数将被观察者接收.它们之间有这样的关系式成立

(8)

在dt时间内，观察者接收到的波数设为dN，这里有

dN=dN1+dN2

(9)

根据式(7)和式(8)得到

(10)

而单位时间内观察者接收到的波数即为观测频率，所以观测到的频率为

(11)

波源的波长λ，波速u，周期T，频率ν之间满足

所以，由式(10)和式(11)得

(12)

其中

为观察者做变速运动的速率.

2.2 观察者不动波源相对于介质做变速运动

设观察者相对于介质静止(以地面为参考系)，而波源沿波源与观察者连线向着观察者运动.在时间dt内，波传播的距离为udt，波源运动的距离为ds，于是波被压缩在距离为udt-ds之内，从而观察者探测到的波长λ′将小于波源静止时介质中的波长λ.而dt为无穷小量，可认为波的压缩是均匀的.在距离udt-ds内分布的波数为

(13)

这些波数应等于dt时间内波源所发出的波数dN2，而

dN2=νdt

于是有

(14)

在此情形中，波相对于观察者而言，传播速度是不变的，因此

其中T′为观察者接收到的周期，由式(14)可得

(15)

其中

是波源做变速运动的速率.

2.3 观察者和波源同时相对于介质做变速运动

根据上面两种情况的讨论，在两者相互趋近过程中，在dt时间内，设波源和观察者相对于介质运动的距离分别为dx和dy.根据式(10)，dt时间内观察者接收到的波数为

根据式(13)，dt时间内波源发出的波数为

而dt时间内观察者接收到的波数等于相同dt时间内波源发出的波数，所以有

(16)

式(16)中

式(16)可变换为

(17)

式(17)中

和

分别为观察者和波源相对于介质的速率.

两者相互离开时，式(17)仍然适用，只需对vS和vB按规定取负值即可，即

(18)

式(17)就是观察者和波源做变速运动情况下多普勒效应的普遍公式.

3 结束语

由式(6)、式(17)可知，无论观察者和波源做匀速运动，还是做变速运动，对应的多普勒效应公式都是相同的.

1 刘战存.多普勒和多普勒效应的起源.物理，2003，32(7)：488～4912 祁占林. 解析声波的多普勒效应.青海师范大学民族师范学院学报,2008，19(2): 77～78

3 潘盛成，童培雄，赵在忠. 反射式声波多普勒效应测速实验.物理与工程，2010，20(4)：70～71

4 楼开颜. 基于相对运动的声波多普勒效应公式.物理教师，2013， 34(10)：90～92 5 武璇，黄双印，郭振平. 非惯性运动下声波的多普勒效应. 延边大学学报(自然科学版)，2015， 41(3)：215～218

Deriving the Formula of the Doppler Effect of Sound Wave in Uniform and Variable Speed Motion

Li Yunmei Yu Taihui Cai Wude

(Institute of Physics and Electronic Information,Yunnan Normal University, Kunming, Yunnan 650500)

A detail derivation of the Doppler effect of acoustic wave is given considering wave source and observer moving at uniform and variable speed. As a result, the corresponding formulas of the Doppler effect are the same no matter the observers and the source moves uniformily or not.

formula of the Doppler effect; sound wave; uniform speed motion; variable speed motion

李云梅(1985- ),女，在读硕士研究生，研究方向学科教学(物理).

指导教师：蔡武德(1966- )，男，教授，研究方向为课程与教学论.

2016-05-20)