Archimedean copula函数非参数估计法的改进

王 迪，李述山，庄绪园

（山东科技大学 数学与系统科学学院，山东青岛 266590）

Archimedean copula函数非参数估计法的改进

王 迪，李述山，庄绪园

（山东科技大学 数学与系统科学学院，山东青岛 266590）

针对Archimedean Copula函数的参数估计问题，文章利用Archimedean Copula函数的对称性提出了一种新的估计Kendall秩相关系数的非参数估计法，并且在理论上证明了新非参数估计法比传统非参数估计法更有效。在此基础上改进了Archimedean Copula函数参数的非参数估计法，并利用随机模拟验证了改进的有效性。

Archimedean Copula；非参数估计法；对称性；有效性

0 引言

Copula函数[1]是一种通过数据和单个变量的边缘分布函数来构造多个变量联合分布函数的统计学方法。Copula函数的出现不仅将风险分析和多个变量时间序列分析推向了一个新的阶段，同时作为一种刻画变量之间相依结构的工具，在不能决定线性相关系数能否正确度量相关关系的情况下，为变量之间相依结构的分析带来了很大方便。自从Copula函数被提出后，Copula函数在变量之间相关性分析、时间序列分析、金融风险及风险管理等方面得到了广泛的应用[2]。Copula函数较多，常用的主要有两类：椭圆Copula函数和阿基米德Copula函数，由于阿基米德Copula函数构造比较方便、计算简单，另外还具有各种各样的分布特征以及良好的统计性质，从而在金融领域得到广泛运用。常用的Archimedean Copula函数有Gumbel Copula、Clayton Copula、Frank Copula、GS Copula等，这些Copula函数大多都是单参数函数，要更好的分析金融市场，必须首先得到较为精确的Copula函数，即要得到未知参数较好的估计。经过多年的研究，现如今对于单参数Archimedean Copula函数已有众多估计方法[3]。通过对Archimedean Copula函数参数估计文献的查阅，本文对其中的非参数估计法进行了改进。改进的方式就是改变样本Kendall秩相关系数的估计量，使其包含了更多信息，进而让非参数估计变得更加准确。

1 基本概念

定义[1]:设(X1，Y1)，(X2，Y2)是互相独立并且与(X，Y)具有相同分布的二维随机向量，则称τ=P[(X1-X2)(Y1-Y2)>0] -P[(X1-X2)(Y1-Y2)<0]为X和Y的Kendall秩相关系数。

定理1[1]:随机变量X和Y的Copula函数是由生成元ϕ生成的Archimedean copula函数，则X、Y的一致性相关系数Kendallτ为：

由定理1知，对于单参数的Archimedean copula函数来说，Kendall秩相关系数τ与其单参数θ具有一一对应关系。常用二元Archimedean copula函数参数值θ与Kendall秩相关系数τ的对应关系如表1所示：

表1 参数值θ与Kendall秩相关系数τ的对应关系

2 非参数估计法

定理2[4]:设(xi，yi)(i=1…n)为取自连续随机向量(X，Y)的样本，则Kendall秩相关系数τ的估计量为：

推论1：连续随机向量(X，Y)有Archimedean copula函数 C(u，v)=C(F(x)，G(y))，设 ui=F(xi)，vi=G(yi)，则Kendall秩相关系数τ的估计量为：

3 改进的非参数估计法

3.1 方法概述

通过Archimedean copula函数的生成元和表达式不难看出，Archimedean copula函数具有对称性，即C(u，v)=C (v，u)。

定理3：若(ui，vi)和(uj，vj)是独立同分布于C(u，v)的，则(ui，vi)和(vj，uj)也独立同分布于C(u，v)。

推论2：由定理3可知如下等式成立：

3.2 估计量的性质

(1)无偏性

证明：为了使证明更具一般性，引入两个均大于0的常数α，β定义如下：

由于Archimedean copula函数具有对称性，利用式（2）可得：

故可得：

(2)有效性

由Archimedean copula函数的对称性可知：

证明：讨论α和 β的取值，考虑式（5）中的部分式子：

上式对α求导得：2(2α-1)ET12-2(2α-1)E(T1T2)=2 (2α-1)(ET12-E(T1T2))，由于已知E(T1T2)

4 随机模拟

由于Archimedean copula函数数量众多且性质相似，所以本文以Gumbel Copula函数为例进行数据模拟研究。其表达形式如下：其中θÎ[1，¥)

本文数据模拟思路是分别取θ为0.5，1，1.5，2，2.5和3，对于每一个给定的θ模拟产生随机数据(ui，vi)(i=1…n)，为了观察样本容量对估计的影响，分别令n为100，1000和10000，然后利用得到的随机数据用两种估计方法依次估计θ，每种方法估计m=1000次，将第i次的估计值记作i，最后求估计的绝对误差结果如表2所示：

表2 参数估计结果

由表2可得如下结论：

（1）对于同一个θ，改进的非参数估计比传统非参数估计绝对误差小。

（2）随着n的增大，改进的非参数估计和传统非参数估计的绝对误差都越来越小。

5 结论

综上所述，本文利用Kendall秩相关系数的特征将对随机向量样本数据求Kendall秩相关系数转化成了对其相应Archimedean Copula函数样本数据求Kendall秩相关系数。在此基础上根据Archimedean Copula函数的对称性提出了新的Kendall秩相关系数估计量，使其相对于原先的估计量包含了更多信息，并且在理论上证明了新估计量比原先的估计量更有效。进一步利用新估计量改进了传统的Archimedean Copula非参数估计法，并且通过随机模拟验证了改进的有效性。由于非参数估计方法简单，计算量小，所以当样本较大时，改进的非参数估计法是对Archimedean Copula进行参数估计的不错选择。

[1]Nelsen R B，Oregon P.An Introduction to Copulas[M].New York: Springer，1999.

[2]张尧庭.连接函数(copula)技术与金融风险分析[J].统计研究，2002，(4).

[3]杜江，陈希镇.Archimedean Copula函数的参数估计[J].科学技术与工程，2009，(3).

[4]李霞.Archimedean copula函数模型选择方法的改进[J].统计与决策，2014，(13).

（责任编辑/易永生）

O212.7

A

1002-6487（2016）21-0016-03

王 迪（1991—），男，山东滨州人，硕士，研究方向：金融统计。

李述山（1966—），男，山东蒙阴人，博士，教授，研究方向：统计学。