简述垂直关系的几种求解策略

◇ 吉林 李 嫣

简述垂直关系的几种求解策略

◇ 吉林 李 嫣

近年来,立体几何高考命题形式比较稳定,题目难易适中,常常立足于以多面体为依托,始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点.在难度上也始终以中等偏难为主,重点在对图形及几何体的认识上,实现平面到空间的转化,是知识深化和拓展的重点.本文以垂直关系为例,简述几种常见题型的求解策略.

1 利用垂直关系相关定理

判定定理是证明垂直关系的主要方法,另外面面垂直性质定理,线面平行、面面平行也都有与垂直相关的结论,应用时注意相互转化.

例1 如图1所示,设平面α∩β＝EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分别为B、D.若增加一个条件,就能够推出BD⊥EF.

图1

现有如下4个条件:

①AC⊥β;

②AC与α、β所成角相等;

③AC与CD在β内的射影在同一条直线上;

④AC∥EF.

那么上述几个条件中能成为增加条件的是( ).

A ②④; B ①④;

C ①②; D ①③

当AC⊥β时,AC⊥EF,AC⊥EF.又AB⊥α,所以AB⊥EF.因为AB∩AC＝A,所以EF⊥平面ABDC,于是EF⊥BD.

当AC与α、β所成角相等,可以取零度角,此时有EF∥BD;当AC与CD在β内的射影在同一条直线上时,EF⊥平面ABDC,于是可得EF⊥BD.

若AC∥EF,则必须有EF∥BD.

综上可得,能成为增加条件的是①、③.

AC⊥β可得EF⊥平面ABDC,于是EF⊥BD;AC与α、β所零度角时有EF∥BD;AC与CD在β内的射影在同一条直线上时可得EF⊥平面ABDC;若AC∥EF,则必须有EF∥面ABDC,由线面平行性质可得EF∥BD.

2 利用等腰三角形三线合一的性质

等腰三角形底边中线、顶角的角平分线以及底边的高线三线合一,因此在垂直关系的证明中,可利用底边的中线作为辅助线来求解.

例2 如图2,已知2个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2,棱AB＝4.求证:PQ⊥平面ABCD.

图2

取AD的中点M,连接PM,QM.因为P-ABCD与QABCD都是正四棱锥,所以AD⊥PM,AD⊥QM,从而AD⊥平面PQM.

又PQ⊂平面PQM,所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB.

又AD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,AD∩AB＝A,所以PQ⊥平面ABCD.

连接平行四边形ABCD的对角线,由2个正四棱锥可得2个等腰三角形,由其几何性质可得垂直关系,进而证得线面垂直.当几何体中出现等腰三角形时,利用三线合一的性质可得线线间的垂直关系.类似地当几何图形中含有菱形、正方形时,利用其对角线互相垂直的性质可得到线线垂直关系.

3 利用勾股定理

勾股定理是证明直角三角形的一个主要方法,在空间垂直关系中,也可借助勾股定理获得线线垂直问题,从而将空间问题平面化,开拓证题思路.

例3 如图3,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠ABC＝45°,DC＝1,AB＝2,PA⊥平面ABCD,PA＝1.

图3

求证:BC⊥平面PAC.

证明 在直角梯形ABCD中,过C作CE⊥AB于点E,则四边形ADCE为矩形,所以AE＝DC＝1,又AB＝2,所以BE＝1,在Rt△BEC中,∠ABC=45°,所以所以AD＝CE＝1,则所以

又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.又PA∩AC＝A,所以BC⊥平面PAC.

利用勾股定理证明垂直关系一定注意边角共面以及线段的长度.

4 利用三角形相似

利用三角形的相似关系可以确定三角形内角间的关系,在空间图形中,利用相关三角形的相似关系迁移角或者边的长度关系可得线线之间的垂直关系.

例4 如图4,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA＝CB,是AB的中点.若点P在线段BB1上,并且

图4

求证:AP⊥平面A1CD.

证明 因为CA＝CB,D是AB的中点,所以CD⊥AB.

因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC⊥侧面AA1B1B,交线为AB,CD⊂平面ABC,所以CD⊥平面AA1B1B.因为AP⊂平面A1B1BA,所以CD⊥AP.

又因为CD∩A1D＝D,CD⊂平面A1CD,A1D⊂平面A1CD,所以AP⊥平面A1CD.

图5

(作者单位:吉林省长春市第二中学)