一道课本练习题的多视角求解

2016-12-16 02:34湖北省咸丰县第一中学445600
数理化解题研究 2016年31期
关键词:咸丰县教参过点

湖北省咸丰县第一中学(445600)

江 维●



一道课本练习题的多视角求解

湖北省咸丰县第一中学(445600)

江 维●

人教A版选修2-1第二章第一节练习第3题:已知点C的坐标是(2,2),过点C的直线CA与x轴交于点A,过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B.设点M是线段AB的中点,求点M的轨迹方程.

教参中的解法如下:

解 设点A,M的坐标分别为(t,0)(x,y).

令x=0,得y=4-t,即点B的坐标为(0,4-t).

即x+y-2=0.①

(2)当t=2时,可得点A,B的坐标分别为(2,0),(0,2),由此得点M的坐标为(1,1),它仍然适合方程①.

由(1)(2)可知,方程x+y-2=0是点M的轨迹方程,它表示一条直线.

视角一:参数法

题目中有三个动点,教参解法以点A的横坐标为参数,把点M的横纵坐标联系起来从而得到点M的轨迹方程.进而思考:点A,B,M的坐标都由直线CA的位置决定,不妨把M的横纵坐标用CA的斜率表示,再消去参数即得点M的轨迹方程.

消去k得x+y-2=0.

(2)当直线CA无斜率时,可得点A,B的坐标分别为(2,0),(0,2),由此得点M的坐标为(1,1),它仍然适合方程x+y-2=0.

(3)当直线CA斜率为0时,可得点A,B的坐标分别为(0,2),(2,0),由此得点M的坐标为(1,1),它仍然适合方程x+y-2=0.

综上所述,方程x+y-2=0是点M的轨迹方程,它表示一条直线.

视角二:相关点法

即然点M的坐标与点A,B有关,那么点A,B也可用点M的坐标表示,再由直线CA垂直于直线CB即可求出点M的轨迹方程.

即得点M的轨迹方程:x+y-2=0.

视角三:几何法

注意到∠BOA,∠BCA均为直角,所以A,C,B,O四点共圆,线段AB为直径,点M为圆心,所以MO=MC,则可迅速判断点M的轨迹.

解 (1)当直线不过原点时,∠BOA,∠BCA均为直角,所以A,C,B,O四点共圆.

又线段AB为直径,点M为圆心,所以MO=MC.

(2)当有一条直线过原点时,点M为一直角三角形斜边的中点,仍有MO=MC.

故点M的轨迹为线段OC的垂直平分线,其方程为x+y-2=0 .

我们可以看到,随着思维的深入,视角的变化,解题方法越来越简单.数学解题的思维具有方向性、灵活性与持续性,在求解的过程中,选择合适的视角,持续不断的思维,使问题在不同的角度得以解决,数学思维能力也将不断提高.

G632

B

1008-0333(2016)29-0050-01

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