优化直线与圆运算的若干策略

浙江省春晖中学(312353)

孟方明●



优化直线与圆运算的若干策略

浙江省春晖中学(312353)

孟方明●

直线与圆问题看起来似乎没有圆锥曲线高大上，但是，不少学生在解答这类问题时也常常陷入繁杂的运算而不能自拔，究其原因还是解法处理不当．因此，探求优化直线与圆运算的策略，有利于提高学生解决此类问题的运算能力，对处理圆锥曲线等更复杂的解几问题也有所启示，不可小觑．

策略一：借助几何直观

例1 已知圆C：(x-5)2+y2=16以及点P(2,1)，直线l过点P且与圆C相交于点A,B，求|AB|的最小值．

(1)若直线l不存在斜率，d=3.

思路2 要使|AB|最小，则应使C到直线l的距离为d最大，如图1，当直线l与线段PC垂直时，l记为l1，此时d=|CP|．任取不同于l1的一条直线l，记为l2，作CQ⊥l2于Q，此时d=|CQ|.由于△CPQ是直角三角形，则|CQ|<|CP|，

策略二：挖掘隐含条件

例2 已知直线l:y=kx+1，圆C:(x-1)2+(y+1)2=12，证明l与C总有两个交点．

思路2 研究直线l:y=kx+1的方程，注意到l经过定点(0,1)，而(0-1)2+(1+1)2<12，所以点(0,1)在圆C内，从而显然有l与C相交．

评注 思路1从宏观层面择优选择“形”的方法，利用分析法证明不等式d

策略三：回归基本定义

例3 过点P(0,3)作圆x2+y2+4x-2y+4=0的切线，切点分别为A,B，求直线AB方程．

思路2 注意到AP⊥AC，BP⊥BC，则A,B落在以CP为直径的圆(记为圆D)上，如图3所示，从而AB是已知圆C与圆D的公共弦所在直线，因此，求直线AB方程只要将两圆方程相减即可。易求得圆D方程是(x+2)x+(y-1)(y-3)=0，于是直线AB方程是x2+y2+4x-2y+4-[(x+2)x+(y-1)(y-3)]=0，化简即2x+2y+1=0．

评注 思路1首先由图形的对称性得到AB斜率，再将目标聚焦于Rt△PAC，根据射影定理解出点E坐标，避免了求切点的复杂过程.但凭心而论，射影定理方法要求学生储备较强的平几知识，有一定难度；而思路2着眼于直线与圆的基本知识，平易近人的知识，却是立竿见影的效果．由此可见，朴素的知识运用得当，就是一种合理的方法．

G632

B

1008-0333(2016)22-0016-01