如何应用双曲线定义解题

河北省武邑县职教中心(053400)

刘永智●



如何应用双曲线定义解题

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刘永智●

双曲线是高中教学的重要内容，也历来是高考的重点和高频考点之一.本文特别针对双曲线定义的应用进行了研究，比较全面、系统地给出了该圆锥曲线的常见题型，能帮助学生全面地学习该类圆锥曲线，对平时的教学也有很好的指导作用.

焦半径；数形结合思想；转化思想；长度；最值；斜率；面积；轨迹方程

双曲线是平面解析几何中的重要学习内容，它会以灵活多变的考查形式出现在我们面前.高考试题中有关这种曲线的题目主要考查它的定义. 解决此类问题的标志是看题目中是否出现“焦半径”(也即双曲线上的一点P与其焦点F所组成的一条重要线段)，此信息就向我们暗示了要使用“定义法”来解决.

要想有效地处理题目中所涉及的多种元素之间的位置关系和数量关系，还需要我们会应用数形结合思想和转化思想来辅助解答.

要想利用定义解决问题，我们一定还要充分利用平面几何的有关知识来辅助证明和解答.应用比较多的，如等腰三角形的“三线合一”性质、三角形中位线定理、线段垂直平分线的性质定理、角平分线的性质定理、圆的定义、圆的切线的性质等知识.

一、求有关线段的长度

A.bB.aC.ebD.ea

分析 首先根据三角形内心的性质及等腰三角形的“三线合一”性质将|PF2|转化为|PC|再根据三角形中位线定理和双曲线定义，问题即可解决.

二、求线段差的长度

A.b-a=|MO|-|MT|

B.b-a>|MO|-|MT|

C.b-a<|MO|+|MT| D.b-a=|MO|+|MT|

分析 首先根据三角形中位线定理和双曲线定义将|MO|、|MT|都用|PF1|表示，再根据双曲线中a,b,c之间的关系表示|TF1|.

三、求线段和的最值

分析 首先根据双曲线的定义，将|PF1|+|PA|的最小值问题转化为求|PA|+|PF2|最小值问题，再利用动点三角形中的三边关系，也即当A、F2、P三点共线时，求得|PA|+|PF2|的最小值，从而问题得解.

四、求双曲线的离心率

分析 首先设|AF1|=m，根据双曲线定义，将△ABF1中的各条线段用m表示，获得m与a的关系，再在△ABF1中由勾股定理获得a与c的关系，根据离心率公式问题即可解决.

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五、求焦点三角形的面积

分析 首先设|PF1|=m，|PF2|=n，用余弦定理求得m与n之间的关系，再根据双曲线定义用配方法求得mn的值，代入三角形面积公式问题即可解决.

六、判断动点轨迹的类型

例6 已知点M(-3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交

于点P，则P点的轨迹为( ).

A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分

C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分

分析 首先根据圆的切线长定理得到|PM|-|PN|为定值，再根据双曲线的定义判断动点P的轨迹类型.

解析 设直线PM、PN与动圆C的切点分别为D、E，则|PD|=|PE|.同理可得|MD|=|MB|，|NB|=|NE|. 又因为|PM|-|PN|=(|PD|+|MD|)-(|PE|+|NE|)=|MB|-|NB|=2<6=|MN|，所以由双曲线的定义可知，点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线(右支且不包括与x轴的交点).故选C.

七、求动点的轨迹方程

例7 点P是圆C：(x+2)2+y2=4上的动点，定点F(2,0)，线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q，则点Q的轨迹方程为____.

分析 首先根据线段垂直平分线的性质将|QF|转化为|QP|，再根据双曲线的定义求得动点N的轨迹方程.

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1008-0333(2016)22-0017-02