Bernstein-Stancu算子的加权逼近

钱 程， 滕旦霞， 虞旦盛

(1.杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036; 2.杭州汽车高级技工学校基础部，浙江 杭州 310012)



Bernstein-Stancu算子的加权逼近

钱 程1， 滕旦霞2， 虞旦盛1

(1.杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036; 2.杭州汽车高级技工学校基础部，浙江 杭州 310012)

文章考虑了Bernstein-Stancu算子对具有奇性函数加Jacobi权的加权逼近问题，建立了加权逼近的正、逆定理.

Bernstein-Stancu 型算子；加权逼近；奇性函数

0 引言和预备知识

前述关于Bernstein算子加Jacobi权的加权逼近结果都是针对连续函数而言的,而且权函数中的参数一般有上、下界限制(要求0

定理1 设a,b>0,0≤λ≤1.则对f∈Cw,有

值得注意的是,上述结论中权函数的参数范围是a,b>0,没有上界限制.为了提高逼近阶,Yu构造出了能够逼近Cw中函数的Bernstein算子的线性组合[8]和Bernstein拟中插式[9]. Yu等[10]还利用截断的方法构造出能够逼近具有内部奇性函数的修正Bernstein算子.

需要指出的是,Vechhia等[6]所构造的算子并非正线性算子,对于保持目标函数的几何性质等也有不足之处.为此,本文考虑Bernstein算子的一种重要的推广形式—Bernstein-Stancu型算子的加权逼近性质.Bernstein-Stancu多项式算子是Stancu[11]首次引入的:

其中α,β为非负常数,且有0≤α≤β.显然当α=β=0时,该式即为通常的Bernstein多项式.Bernstein-Stancu算子是一种正线性算子,已经被广泛应用于数学和计算机科学领域.

本文将证明在α，β>0时Bernstein-Stancu算子可以较好地逼近Cw中的函数.以下总是假设α,β>0.事实上，本文有如下结论：

定理2 设f(x)∈Cw,a,b>0,0≤λ≤1,则对n=2,3,…,存在正常数C使得

定理3 设f(x)∈Cw,a,b>0,则对任何0<θ<1,有

1 引理及其证明

证明 记

先证明

(1)

其中两个量p～q指的是存在两个正常数C1和C2使得C2q≤p≤C1q.分几种情况证明式(1).

且有

从而

当k=n时,类似可证得

这样,

综上所述，可知式(1)成立.

另一方面,对任意γ,δ>0,成立[12]:

(2)

利用式(1)和(2),得

引理2 对于任意γ≥0,有

(3)

证明 由文[13]知

(4)

利用式(4)及

即得

(5)

由式(2)知

(6)

类似地,有

(7)

利用式(5)，(6)，(7)知引理3此时成立.

因此，引理3此时也成立.

证明 注意到

因此,

利用式(1)的证明方法,可以证明当n>2时,有

这样，利用式(2),就有

2 结论及其证明

定理2的证明 定义

Kφλ(f，t)w～wφλ(f，t)w,0≤λ≤1.

(8)

利用式(8)，对任意固定的n，x和λ，存在g(x)∈W(λ),使得

(9)

(10)

(11)

因此，只需要证明以下不等式：

(12)

利用式(3)，(10)和(11),得

综合以上讨论可知

定理3的证明 充分性由定理2即知.必要性由引理3，引理4，知名的Berens-Lorentz引理和文[1]中的方法易得.

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Weighted Approximation of Bernstein-Stancu Operators

QIAN Cheng1, TENG Danxia2, YU Dansheng1

(1. School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China; 2. Department of Public Education,Hangzhou Automobile Advanced Technician’s School, Hangzhou 310012, China)

The paper considerd the weighted approximation problem of Berstein-Stancu operators with singular function and Jacobi weight, and established the direct and converse theorems about weighted approximation.

Bernstein-Stancu type operators; weighted approximation; singular function

2016-05-04

虞旦盛(1976—),男,教授,主要从事函数逼近论研究.E-mial:dsyu_math@163.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2016.06.014

O174.41 MSC2010: 41A25; 41A35

A

1674-232X(2016)06-0636-07