代数布式 天元开方——卡尔达诺公式在晚清的境遇

高红成

(天津师范大学数学科学学院,天津 300387)



代数布式 天元开方
——卡尔达诺公式在晚清的境遇

高红成

(天津师范大学数学科学学院,天津 300387)

卡尔达诺公式由译本《代数术》(1873)传入中国,引起了晚清数学家的关注,它与中国传统数学中的天元术和开方术发生了互动。晚清数学家探讨了卡尔达诺公式的立术之原,企图用开方术“消解”三次方程不可约情形,并把它纳入自编的代数学教材。他们将卡尔达诺公式放在自己的知识结构中讨论、理解,在认识到符号代数优越性的同时,也为保留传统开方术找到了理由。这些有特色的工作很大程度是由他们自身的知识构成决定的。

《代数术》 卡尔达诺公式 传播 知识构成

卡尔达诺公式指的是一般三次方程的求根公式,首次发表于意大利数学家卡尔达诺(Girolamo Cardano,1501～1576)1545年出版的《大术》中。《大术》是代数发展史上的里程碑,系统给出了代数学中许多新概念和新方法,如三、四次方程的一般解法,方程的降阶,高于一次的方程有多个实根的认识,虚数及其运算的最早引入,三次方程根与系数的关系等等。其中,最为重要也颇具争议的就是三次方程的求根公式。[1- 4]由于这个求根公式,三次方程“诡辩的”的不可约情形使得复数变得无法回避,开启了复数研究的新局面；四次方程求解公式随之得以解决,诱使人们企图借助类似的方法解决五次及以上方程的求解问题,最终却导致群论的创立,整个代数学获得新生。因此,卡尔达诺公式被认为是整个欧洲近代数学崛起的先声。现代著名数学家F.克莱因称它包含了现代数学的萌芽,远远超出了古典代数学的框架。[5]

三个多世纪后,卡尔达诺公式通过译本《代数术》首次传入中国。《代数术》25卷共281款,由傅兰雅(John Fryer,1839～1928)口译、华蘅芳(1833～1902)笔述、刘彝程校算,于1873年在江南制造局出版。[6]其英文底本是《大英百科全书》(EncyclopaediaBritannica)第8版(1853～1860)中英国数学家华里司(William Wallace,1768～1843)撰写的《代数学》(Algebra)辞条。[7- 8]其中卷11“论三次之正杂各方式之解法”,介绍的主要就是卡尔达诺公式。

相应的,一般高次方程的数值解法和理论是中国传统数学的重要研究领域,代表成就“增乘开方法”在13世纪中叶就已趋于完善。[9]卡尔达诺公式传入中国时,由于群论、逻辑代数、非欧几何的出现以及分析的算术化,欧洲数学已进入了突飞猛进的时代,而中国传统数学早已渐行渐远,与之不可同日而语。本文关注的是,自身有着高次方程求解传统的晚清数学家对卡尔达诺公式进行了怎样的解读,抑或传统数学中的“开方术”与它发生了怎样的互动。从科学传播的角度来说,这是一个很值得探究的课题。在前人研究的基础上,本文先简介《代数术》中的卡尔达诺公式,然后基于原始资料来考察它在晚清的传播情形,最后对西方数学在晚清的传播提出一些思考。

1 《代数术》中译介的卡尔达诺公式

《代数术》全书沿用李善兰、伟烈亚力共创的汉译代数符号表示法。为了便于后文讨论,本节用现代数学符号简要叙述第11卷(第113～121款)的内容。这一卷主要论述了缺二次项的三次方程

y3+qy+r=0

(1)

的求根公式(卡尔达诺公式)的推导、不可约三次方程及其三角解法。在华里司撰写辞条时,这部分内容实际上是欧洲方程论经过邦贝利(R. Bombelli,约1526～1573)的复数研究、韦达(F. Vieta,1540～1603)的补充以及欧拉(Leonard Euler,1707～1783)的完善,特别是经过数学符号系统化之后沉淀下来的内容,属于当时欧洲初等方程论的基础内容。

1.1 卡尔达诺公式及其推导

卡尔达诺公式的推导是第114款和第115款的主要内容。对方程(1)令y=v+z,得到

v3+3v2z+3z2v+z3+qv+qz+r=0

(2)

《代数术》称：

此式中有两个未知之数,一为亥(v),一为人(z)。如能将此式分而为二式,则求亥、人之同数更易。欲分前式为二,只有一法。*此段文字后引起争议,现将英文原文附于此:“Thus we have a new equation, which as it involves two unknown quantities, v and z, may be resolved into any two others, which will simplify the determination of those quantities.// Now it appears, that the only way in which we can divide that equation into two others, so as to simplify the question, is the following.”([8],517页) 另外,在引用原文时随文以括号夹注,以便理解和对照,下同。

此处所强调的“只有一法”,即令

3v2z+3zv2+qv+qz=0

(3)

v3+z3+r=0

(4)

另外两根为

上述求根公式就是方程(1)的卡尔达诺公式,《代数术》称之为“迦但之法”,即Cardan’s rule ([8],517页)的译文,现今一般译为“卡当公式(法则)”,Cardan是Cardano的英文拼法。变换y=v+z是关键一步,而v和z当时分别译作“亥”和“人”,因此在晚清这个公式还被称为“亥加人开方法”。

1.2 “不能化之式” (不可约三次方程)

“不能化之式”是《代数术》对irreducible case([8]，519页)的翻译，现今一般译作“不可约情形”，相应的方程称为“不可约三次方程”。这种方程在用卡尔达诺公式求根时会导致一个无法回避的问题：实根必须用虚数的立方根来表示。在16世纪的欧洲，负数都不被承认，更不用说虚数开方了，所以当时卡尔达诺和邦贝利都感到困惑，称这种情形“出乎常理，犹如诡辩(sophistic)”[10]。

1.3 “不能化之式”的三角解法

基于以上讨论，第121款介绍了不可约三次方程的三角解法。

(5)

将不可约三次方程

y3-qy+r=0

(6)

这个三角解法是由韦达在其《论方程的整理与修正》(1615)中首先给出的，避免了卡尔达诺公式的使用。三次方程解法的第一个完整讨论是1732年由欧拉给出的。[11]

2 晚清数学家对卡尔达诺公式的解读和讨论

2.1 探讨卡尔达诺公式的立术之原：(2)式何以只能分成(3)、(4)两式？

《代数术》在推导卡尔达诺公式时称(2)式“只有一种分法”,即只能分为(3)式和(4)式,但并没有给出原因。对此,一些中算家表示“蓄疑已久”或“不解”。他们的疑惑实际上触及到卡尔达诺公式的实质,诸家有一番探讨,大体如下。

1893年,华蘅芳《学算笔谈》(12卷)全部出版,其中卷8、卷9均论及卡尔达诺公式。华氏认为,(2)式“全式既等于〇,则欲分之为两式,必为使其所分之两式皆等于〇,方合于理。即所谓〇与〇相加必等于〇也。”舍此以外,“无论如何分法皆不能使所分之两式皆等于〇。”([19],卷9，13页)

翌年,在南菁书院学习的崔朝庆著《读〈代数术〉记》,他认为“欲分前式为二,只有一法”一句的翻译有语病,华蘅芳的解释“仍前译书时之误,而未尝细辩也。”崔氏认为“亥与人之同数原为未定之数”,只有分成(3)、(4)两式,“用别种分法求亥与人之同数,均不易得。”所以他认为应在原译文“只有一法”后加上注文“只有一个分法分作二式易求得亥与人之同数”才行。[20]实际上,对比英文原文(前文注),《代数术》的翻译并没有问题。

1899年,刘彝程《简易庵算稿》(4卷)序成。[21]刘氏于1875～1898年主讲求志书院,该书收录他主讲求志书院期间课士的二百余个典型题目并附解答,其中有多题与三次方程求解有关,其中“丙申春一”题给出了与崔氏类似的解释：只有那样分才“最为合用”。

显然,华、崔、刘三人均未理解公式的实质。而崔氏的看法被叶耀元主编的《新学报》第2期(1897)以“《代数术》辩误”为题加以转载,并且还被吴诚《代数一隅》(1898)、解崇辉《代数术补式》(1898)引用。[22- 24]可见,上述6人均未弄清卡尔达诺公式的立术之原。

这个疑惑,后来的陈平瑛给出了本质的解释。陈平瑛,字修常,福建侯官人,1881年生,在福建府丁酉(1897)年的科举考试中举,年仅17岁。时人称他“生而颖悟,幼通算理,年未弱冠,以算学名天下,其丁酉科闱中所对天算策问,传颂于时。”[25]。曾任广州府中学堂算学教习。[26]1901年,他著成《中西算学题镜》(8卷),其中卷1“专论三次式之理”说：

其所以分为二式之故,《代数术》只云“欲分前式为二,只有一法”,而不言其理。遍考诸家算草,皆云如此分之,则能令二式皆等于〇,否则无论如何分法,皆不能令所分之二式等于〇。其语多涉含混,因取而另解之。([25],卷1，1页)

他先给出完全立方和恒等式

(v+z)3=v3+z3+3vz(v+z)

(7)

将y=v+z代入得

y3-3vzy-(v3+z3)=0

(8)

将此式与方程(1)对比，可得

q=-3vz，r=-(v3+z3)

(9)

(2)式可变形为

(v3+z3+r)+(3vz+q)(v+z)=0

与(9)式对比，可知(2)式“只有一法”分成(3)、(4)两式。

可见，陈平瑛完全弄清了卡尔达诺公式立术之原就是完全立方和公式(7)。

2.2 “消解”不可约情形

2.2.1 不可约情形的“解法”

图1 沈善蒸虚数开立方算草

法一：将实数、虚数依立方廉隅法配成四项开之。如刘彝程《简易庵算稿》乙酉春一题。

这种类比开方法的初商很不好找，刘彝程称“配法极烦，不便于行”([21],卷4，5页)。实际上，只是立方虚根符合开方术的形式，但无法直接用代数开方得到虚数的立方根。

法二：“代数”开立方术

专用左边实数(A),先求初商(a),以其立方积减左,又三因初商除之,开平方得次商(b)。或专用右边虚式或根式,先求次商(b),以其立方积减右(B),又三因次商(b)除之,开平方得初商(a)。([21],卷4，6页)

这个方法先求的商是试算出来的,“极费经营”。此题篇幅长达十三页,列举了多个例题,极力破解“不能化之式”。后来,陈志坚《求一得斋算学》(1904)引用了这个方法,但加上一个验商的步骤,“以次商立方积减右,复三因次商以除右,余数平方开之,适与初商合,则初商次商即为定商。若三因次商除右余数不能开方,或能开而所得与初商不合,则另拟。”[28]因此这个方法只具有理论价值了。

法三：待定系数法

支宝枬1898～1901年主讲于上虞算学堂,他曾是刘彝程在求志书院的学生,([21],凡例)主编的《上虞算学堂课艺》收入了一个很有“代数”意味的方法。[29]问题为：

八十负加减一万五千五百五十二负之平方根为实立方,开之为何式？([29],卷上，29页)

这是个有意思的解法，题设的来源是三次方程的不可约情形，而解决的关键最后的三次方程竟是借助于传统的“开方术”求解。所以支宝枬在开篇“例言”就指出，“遇不能化者，不如用天元商得数较易。盖开方阐理，天元不及代数之精；超步约商，代数不若天元之便。”([29]，例言)

法四：级数法

前面提到的陈平瑛在《中西算学题镜》卷1给出了两种较为新颖的方法：级数法和三角法。先介绍级数法。由二项式展开式得到

这样得到x的一个近似值x≈4.4188。

法五：三角法

(10)

则

(11)

陈氏指出，《代数术》第262款介绍了棣莫弗公式

(12)

陈氏此法与韦达三角解法“相通”。实际上,陈氏相当于运用棣莫弗公式将韦达的三角解法推导出来了。

这五种方法明显分为成两类。前三种方法均很自然地以传统数学中的开方术来“消解”不能化之式,在这个传统中,虚数立方根与实数立方根的处理没有什么区别,并且开方术具有“简便”的优势。陈氏的后两法则是从《代数术》中寻找到了解决之道,已融入西方数学的范式,显示了晚清数学发展的趋势。

2.2.2 对三次方程根的讨论

刘彝程《简易庵算稿》戊戌秋一、秋二两题讨论了缺项三次方程根的情况。他说：

准秦道古(指秦九韶)《数书九章》及李尚之《开方说》。凡开方式,其相联两层以下步上,异名得一正根,同名得一负根。又以方步实得一小根,以廉步方得一中根,以隅步廉得一大根。……空二项之立方,准代数理,其大根必等于中小根之和,而反其号,故能相加适尽。而令二项为空,但此等式大、中、小三根有无虚实,代数虽论及之,究未详尽。([21],卷4，4页)

对于缺项的三次方程根的讨论,可以追溯到于清代中期李锐和汪莱的研究,这个问题在传统开方术中通过步法解决。这里不介绍刘氏讨论的过程,只关注刘氏通过《代数术》中介绍的多项式因式分解理论以及根与系数的关系等知识,得到了比李锐更为详尽的结果。刘氏的讨论实际指向不可约情形,他最后得到三次方程至少有一实根的结论,因此“无论一实根、三实根之式,可先求其易得之根。由亥(v)、人(z)得地(y),以地除空二项式,化为平方式,易求得其余二根。”此即,求得一实根后将方程降为二次,然后得到另外两个根,避免了公式法的麻烦。刘氏的讨论结果后来还被陈志坚《求一得斋算学》引用。

可以看出,刘氏题设明显属于传统开方术的范畴,承续了清代中期李锐、汪莱研究开方术的思路,讨论三次方程根的个数和大小关系,针对的却是《代数术》中三次方程。类似的情形在晚清西方数学输入和传播过程中不少,值得思考。

2.3 自编代数学教材：舍弃开方术

随着《代数学》(1859)、《代微积拾级》(1859)、《代数术》等书籍的翻译,符号代数逐渐得到晚清中算家的认同,影响也日益增强。一些数学家或数学教师普遍以代数方法或其他西方数学方法来演算、整理传统数学著作中的算题,以此种方式来传授、传播西方数学内容和方法。[30]突出情形就是将西方数学内容直接移植或改编,撰写出适合中国学子的代数学教材。方楷《代数通艺录》、冯澂《代数启蒙》、黄庆澄《代数钥》可视为代表。

方楷(1839～1891),字子可,江苏阳湖(今武进县)人,1882～1887年在广州实学馆任汉文教习,教授汉文和算学。《代数通艺录》(16卷,1890)[31]是方楷在任教于实学馆期间自编的数学讲义基础上编纂而成,被认为是中国数学家自己撰写的第一部代数学教材 ([30],232页),它最大的特点就是运用《代数术》中的符号代数语言、方法对传统数学中典型内容和算法进行演算和重构[32]。方氏曾自述其编纂思想说：

以代数为根原,于中学则通《九章》,于西学则通几何、借根方及诸比例,于古学则通天元、四元。又以代数无定式通古求一术,以平三角通测量,以弧三角通星历。旁及于《辑古算经》、洞渊九容诸法,悉以代数通之。[33]

该书第十卷“立方三次式”介绍三次方程的解法。首先利用几何模型介绍了带一纵立方、带两纵相同立方以及带两纵不同立方等三种三次方程,所用术语源于《数理精蕴》,以传统数学中常用的“立方积求边”的方式设题,方程表示法却来自《代数术》,解题主要是运用卡尔达诺公式得到一正根,然后运用综合除法得到二次降阶方程,最后用配方法求得另外两个根。对于不可约情形,方氏先用三角解法求出一实根,然后对方程降次,最后得到3个根。整卷没有介绍传统数学的开方术,仅仅是沿用了传统数学中方程的名称。

冯澂,字涵初,号清渠,江苏通州(今江苏南通)人,曾在黄炳垕的指导下学习天算。1891年入南菁书院受业,直到1902年才离开书院。所编《代数启蒙》(4卷,1897)编撰目的与方楷一致,“为习代数者入门之助”。[34]内容相较于方著简洁,只有四卷,知识最高内容就是三次方程的解法,出现在末卷。该卷主要讲二次方程和三次方程的代数解法,内容同样源自《代数术》,讲解方式与方楷相同,术语和设题采用传统数学的形式,解答则是运用《代数术》中的代数方法,不介绍传统的开方术。三次方程的内容与方著相当,甚至前两个例题和解题主要步骤都一样,但逻辑性较方著为强。

黄庆澄(1863～1904),原名炳达,字钦教,号愚初,浙江平阳人。所著《代数钥》(7卷),原连载于他创办的《算学报》第4～10期。该报于光绪二十三年(1897)六月创刊,月刊,光绪二十四年五月停刊,共刊出12册(期)。《代数钥》每1卷为1册,共7册,对应《算学报》的第4～10册(期)。《算学报》第一册“公启”称,“本报专释近日算学中最切要者,演为图说,俾学者由浅而深,即穷乡僻壤,无师无书,亦可户置一编,按其图说自寻门径。”[35]《代数钥》卷7中“论三次式之以二求一法”、“再论三次式之以二求一法”、“论三次式不能化之式”等三节解释卡尔达诺公式。1906年启新书局将这七卷结集以同名出版。[36]相较于方、冯两书,《代数钥》中几乎没有传统数学的痕迹,全书依据《代数术》,介绍和解释《代数术》中的相关内容,最高知识内容就是三次方程求解。卷6和卷7完整地介绍三次方程求根公式的推导,并对“不能化之式”做了详细的说明,印证了“专释近日算学中最切要者”。

三书在方程解法介绍上虽有区别,但有一个相同的作法：不再介绍传统的开方术。这些表明编者认识到了符号代数的优越性和逻辑性,体现了西方数学在晚清的传播逐渐深入。

3 “代数布式,天元开方”(代结语)

卡尔达诺公式之所以在欧洲引发一系列重大的反响,一个重要的原因是欧洲数学家对一般高次方程解的一般形式的执着追求。在中国,传统数学家对一般高次方程的求解也同样执着,但他们崇尚的是数值解,注重算法的程序性和快捷性,早在宋元时期就已经形成了自己的解高次方程的传统。列方程有天元术,解方程有增乘开方术和正负开方术等方法。

即便如此,就是进入了20世纪,很多数学家在求解方程时还是认为卡尔达诺公式解法“极繁难”,不如传统的开方术便捷。且看如下几例。

邹尊显在其《元代开方通义》(不分卷,1905年序)称：

泰西算学家创代数,流传中土,中人译之以天地人物等元代未知之数,以甲乙丙丁等元代已知之数,盖即中国之《四元玉鉴》也。唯其式俱横列,眉目清楚,较《四元玉鉴》之上下左右分列易至混淆者,尤为尽美尽善。独于开方一术,则自二次杂方外其三次杂方已觉不胜繁难,……至于四次以上更多滞碍难通,从无名家能创一通术以御之。……取代数三次杂方式以天元之义通之,按式推演,其得数若合符节,从可知代数四次以上之杂方无不可以天元之义通之也。[37]

刘泽桢在《中西数学通解》(20卷,1907)卷16“带从较数立方”论道：

愚初习算,窃谓代数至开三次杂方以上,其法歧出,其理较深,其得数最费转折,初学读之,难遽了然。……不若天元开方,无论平方、立方,以至若干乘方,且勿问带从、不带从,带从之同与不同,为和、为较,无不可以一例推之。故识者谓布式莫便于代数,而开方莫捷于天元。爰以代数布式,天元开方。[38]

陈崧为潮州金山中学堂编辑了一本有关代数学习的课本《借根方代数汇通》(5卷),自序于1903年,1910年刊刻出版,该书卷5“开方篇”说：

考西人《代数术》,惟解二次之式稍觉平易,至解三次式、四次式以及多次者,亦极繁难。故此书唯带从平方则用代数法开之,其余带从立方以下,则取秦道古投胎换骨之法以开之。盖此术较代数术更为简妙。近日李壬叔、华若汀皆深于算学者,亦以此法为甚便也,余故采而用之。[39]

可见,他们在处理高次方程求解时,常常先以符号代数方法列方程、整理、化简方程,最后将得到的横式的一元高次方程改写为传统的竖式开方式,运用开方术求解。([30],273页)此即刘泽桢所谓的“代数布式,天元开方”。在他们眼中,代数方法不是求解高次方程的“通术”,“解三次式”的卡尔达诺公式会带来“繁难”,所以三次及以上的高次方程最终都以开方术求根。此外,即使晚清数学家逐渐认识到代数方法列方程优于天元术,天元术也没有被完全舍弃。([30],274页)如华蘅芳认为“不习天元则正负开方之理不能尽明,虽从代数得其相等之式,亦不易求其同数。”([19],卷5，20页)亦即,若不学天元术便无法理解正负开方术,这容易导致最后用代数方法得到的一元高次方程难以求根。这样,天元术因为开方术而得以留存。

的确,跨文化的科学传播有其复杂性,在传播过程中,科学知识本身的“优越性”并不起决定作用,传播者和接受者双方的特点决定了西方科学知识传播的特点和内容。([30],370～371页) 科学传播不仅取决于传入的西方科学,也取决于国人对科学的理解。[40]西方数学在晚清的传播就是如此。面对卡尔达诺公式,中算家是从自己的知识结构出发,把它放在自己知识构成中去理解、重构、吸收和扬弃,他们认识到符号代数方法在表示和运算方面的便捷,但在对比“不能化之式”的繁杂之后认为传统的开方术在解方程方面具有“通法”的价值。他们并不纠结于方程的根式解或一般公式解,既然《代数术》已指出“五次及五次以上之式无人能思得一通法可径解之,亦无有一定可化之为简次之式者”([6],129款),而传统开方术可以作为“通法”解决欧洲数学家的困惑,就具有了保留的价值。因此开方术在晚清反倒获得了新的发展,华蘅芳的积较术即为一例。[41]这也是西方数学传入后,晚清数学家反而能做出一些有特色的工作的重要原因之一。

但同时我们也看到,晚清数学家的知识构成在比较、吸收西学的过程中在不断地扩充和改变,逐步形成了新的知识结构,影响着后来与西学的相互作用,最后融入西方数学,传统数学被取代。方楷、冯澂、黄庆澄等人的努力加速了这一进程。陈平瑛对三次求根公式的理解和把握所达到的高度,就是中算家知识构成达到一个新层次的体现。中算家知识构成的变化,可以作为分析和理解西方数学在晚清传播情形的一个新视角,这个视角可以兼顾传统数学“知识进展”与“近代化”的研究思路。

致 谢 感谢中国科学院自然科学史研究所韩琦研究员、田淼研究员、邹大海研究员以及丹麦RoskildeUniversity的JensHøyrup教授的指点和匿名专家的评审意见,感谢中国科学院自然科学史研究所潘澍原博士惠赠资料。

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21 刘彝程.简易庵算稿[M].江南制造局刊本,1900(光绪庚子).

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23 吴诚.算学一隅·代数一隅[M].宁波储才学堂刊本,1898(光绪戊戌).

24 解崇辉.代数术补式[M].上海顺成书局石印本,1900(光绪庚子).

25 陈平瑛.中西算学题镜[M].西湖街藏珍阁刊本,1901(光绪丁丑).后序1a.

26 黄启明.微积通诠[M].广州菁华阁刊本,1905(光绪三十一年).陈平瑛序.

27 沈善蒸.解代数一百十四款[M] //华里司辑.代数术·卷11.傅兰雅口译,华蘅芳笔述.古今算学丛书刊本,1898(光绪戊戌).

28 陈志坚.求一得斋算学[M].卷11.松江嵇文墨斋刊本,1904(光绪三十年).18.

29 支宝枬.上虞算学堂课艺[M].卷上.经正书院刊本,1901(光绪辛丑).29.

30 田淼.中国数学的西化历程[M].济南：山东教育出版社,2005. 229.

31 方恺.代数通艺录[M].西湖街成文堂刊本,1890 (光绪庚寅).

32 闫艳丽.方楷及其《代数通艺录》研究[D].天津：天津师范大学,2015.

33 方楷.代数通艺录跋[M]//中华历史人物别传集·第62册·方子可哀录·方氏遗书目录.北京：线装书局.2003.597.

34 冯澂.代数启蒙[M].江苏书局刊本,1897(光绪丁酉). 序.

35 黄庆澄.算学报[M].第1册(期).1897(光绪二十三年六月).公启.

36 黄庆澄.代数钥[M].启新书局刊本,1906(光绪丙午).

37 邹尊显.元代开方通义[M].刊本,1905(光绪乙巳序).自序.

38 刘泽桢.中西数学通解[M].卷16.乐山丛桂书屋刊本,1907(光绪三十三年).18.

39 陈崧.借根方代数汇通[M].卷5.东溪算学八种刊本,1910(宣统二年).1.

40 韩琦.数学的传入及其影响[M] //董光璧主编.中国近现代科学技术史.长沙：湖南教育出版社,1997.121.

41 李兆华.招差术略论[C]//古算今论.第2版.天津：天津科技翻译出版公司,2011. 282～299.

Building Equations by Algebra but Solving them by Tianyuanshu： A Study on the Dissemination of the Cardano’s Formula in the Late Qing

GAO Hongcheng

(SchoolofMathematics,TianjinNormalUniversity,Tianjin300387,China)

The earliest introduction of Cardano’s formula into China was through the workDaishushu(代数术) in 1873. It aroused the attention of traditional Chinese mathematicians in the Late Qing, resulting interactions withKaifangshuandTianyuanshutechniques of traditional Chinese mathematics. Chinese mathematicians studied its origin, and wanted to “eliminate” the irreducible case of cubic function by means ofKaifangshu, and assimilated it into their algebra textbooks. They selected and incorporated Western mathematics on the basis of their own composition of knowledge. Though they realized the superiority of symbolic algebra, at the same time they found reasons for retainingKaifangshu.

Daishushu(Algebra), Cardano formula, dissemination, composition of knowledge

2014- 10- 08；

2016- 04- 20

高红成,1976 年生,湖北麻城人,科学史博士,副教授,主要研究中国数学史。

国家自然科学基金 (项目编号:11001199)

N092∶O112

A

1000- 0224(2016)03- 0273- 12