控制力矩陀螺系统奇异性仿真分析*

于 琪, 范继祥，严宇新，张伟光

(哈尔滨师范大学)



控制力矩陀螺系统奇异性仿真分析*

于 琪, 范继祥* *，严宇新，张伟光

(哈尔滨师范大学)

对剪式控制力矩陀螺系统中单个陀螺失效的奇异性进行了研究.针对正交安装剪式控制力矩陀螺群中一个陀螺失效的情况，给出了剩余冗余控制力矩陀螺系统的奇异角动量超曲面仿真曲线，并对奇异面的构成和特点进行了分析，为此种构型下控制力矩陀螺群的操纵律设计提供了重要依据.

控制力矩陀螺；奇异性；角动量；构型

0 引言

控制力矩陀螺作为动量交换装置，可以通过与卫星主体之间的动量交换实现卫星的姿态控制[1].按转子的自由度数可将其分为单框架控制力矩陀螺(SGCMG)和双框架控制力矩陀螺(DGCMG).由于SGCMG具有结构简单、输出力矩大、可靠性高的优点，因此已被广泛应用于大型航天器的姿态控制以及敏捷小卫星的大角度姿态机动任务中.目前普遍采用的SGCMG系统为金字塔或五棱锥构型.对于这些冗余的SGCMG系统，其角动量包络内部有复杂的奇异点，从而给操纵律设计带来困难，因此采用冗余SGCMG系统作为姿态控制的执行机构时，必须解决系统的奇异问题，目前国内外已有很多学者在这方面进行了分析与研究[2-4].

剪式控制力矩陀螺系统在工作状态下两个转子绕着框架轴同步进动，抵消了陀螺转子间的动量耦合，从而只在垂直于框架轴平面方向输出控制力矩.其特点是对航天器的单轴姿态控制只需一组剪式陀螺系统，对三轴姿态控制只需要三组正交安装的剪式陀螺系统，并且可以实现三组陀螺间的解耦设计.由于正交安装的剪式控制力矩陀螺系统正常工作时无内部奇异，因此其操纵律设计更为简单[5].考虑到一些大型的航天器，如空间站，需要长期在轨运行，因此可能出现个别SGCMG失效的情况.该文对剪式控制力矩陀螺系统中单个陀螺失效时的奇异角动量超曲面进行了绘制，并对其构成和特点进行了分析.

图1 三轴正交安装剪式控制力矩陀螺系统构型

1 SGCMG系统构型及数学描述

三轴正交安装的剪式控制力矩陀螺系统如图1所示，正常工作时系统角动量为

(1)

式中：hi为第i个控制力矩陀螺的角动量矢量，σi为其对应的框架角.h为单个控制力矩陀螺的角动量大小.

不失一般性，假设6#陀螺失效，此时系统的角动量为

(2)

相应系统的Jacobi矩阵为

(3)

由于Jacobi矩阵D与陀螺的框架角σi直接相关，某些框架角组合可能使得Jacobi矩阵降秩，即rank(D)<3，此时SGCMG系统出现奇异.下节将对该问题进行详细研究，为简便起见，将各SGCMG角动量单位化，即h=1.

2 单个SGCMG失效系统奇异性分析

2.1 奇异面

对一个实际SGCMG群，奇异状态可以描述为如下物理状态：所有SGCMG在奇异方向上的角动量投影为极值，此时所有SGCMG所产生的控制力矩必然垂直于奇异方向.根据此描述可以得出结论：在任意确定构型下，一个奇异方向对应2n个框架角位置确定的奇异状态.

设fi为单位向量，定义为

(4)

式中：fi为第i个SGCMG的瞬时输出力矩；gi为第i个SGCMG框架轴方向上的单位矢量.

在奇异状态下，目标输出力矩u与各SGCMG的瞬时输出力矩垂直，即

(5)

由于fi也垂直于gi，并且|fi|=1，上式奇异条件可写为

(6)

考虑到hi=fi×gi，上述奇异条件可改写为

(7)

因此hi和u的内积可表示为

(8)

最终的奇异条件(奇异角动量矢量)可以描述为如下形式：

(9)

式中：εi=sign(ei)=sign(h1·u)=±1.

根据式(9)可以采用数值计算的方法，使u遍历三维空间Su={u||u|=1,u≠±gi,i=1,…,n}中的各单位矢量，则可绘制奇异状态下陀螺群角动量的超曲面.

2.2 奇异角动量超曲面分析

当6#陀螺失效时，剩余5个陀螺将退出同步进动状态.根据奇异方向上各陀螺角动量投影的方向的不同，即εi取值的不同，可将剩余陀螺系统的奇异角动量超曲面分为3部分，即5H奇异面，3H奇异面以及1H奇异面.

图2 5H奇异角动量超曲面

5H奇异面只有一个单元 (+++++)，如图2所示.此奇异面为球形，并在3个坐标轴方向开有3对正交的圆形窗.

图3 3H奇异角动量超曲面

3H奇异面有 (++++-)、 (+++-+)、 (++-++)、 (+-+++)、 (-++++)5个奇异面单元.其中 (+++-+)与 (++-++)单元奇异面相同， (+-+++)与 (-++++)单元奇异面相同.图3为3H奇异角动量超曲面，其中图3(a)，(b)、(c)分别为该奇异面3个不同的图形单元，图3(d)为3H总奇异面.由图3(d)可以看出，3H总奇异面为对称的“花篮”形，上下各有一个较浅的喇叭口形的底座.

图4 1H奇异角动量超曲面

1H奇异面有 (+++--)、 (++-+-)、 (+-++-)、 (-+++-)、 (++--+)、 (+-+-+)、 (-++-+)、 (+--++)、 (-+-++)、 (--+++)10个奇异面单元.其中 (+++--)与 (++-+-)单元奇异面相同， (+-++-)与 (-+++-)单元奇异面相同， (+-+-+)、 (-++-+)、 (+--++)、 (-+-++)单元奇异面相同.图4为1H奇异角动量超曲面，其中图4(a)，(b)、(c) 、(d)、(e)分别为该奇异面5个不同的图形单元，图4(f)为1H总奇异面.由图4(f)可以看出，1H总奇异面中心为正交的两个“类梭形”结构，在结构的末端有对称的4个喇叭口形漏斗.

图5 系统总奇异角动量超曲面

图5为系统总奇异角动量超曲面.由该图可知，系统的奇异角动量包络由5H、3H和1H奇异面构成，其中1H奇异面的4个喇叭口形漏斗填补了5H奇异面x，y方向上的4个圆形窗口，3H奇异面两个喇叭口形底座填补了5H奇异面z方向上的2个圆形窗口.

3 结束语

从奇异角动量超曲面可以看出，当单个陀螺失效时，剩余的陀螺系统仍然具有较大的动量包络，但内部奇异分布较为复杂.绘制正交安装剪式控制力矩陀螺系统单个陀螺失效时奇异角动量超曲面，直观的显示了该陀螺系统构型的奇异特性，可为其操纵律的设计提供重要的参考依据.

[1] 李传江, 郭延宁, 马广富. 单框架控制力矩陀螺的奇异分析及操纵律设计[J]. 宇航学报, 2010(10): 2346-2353.

[2] Gui H C, Jin L, Xu S J. Local controllability and stabilization of spacecraft attitude by two single-gimbal control moment gyros[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2013(5): 1218 -1226.

[3] 吴忠, 邓世龙, 魏孔明，等. 单框架控制力矩陀螺复合操纵律设计[J]. 中国空间科学技术, 2013(3): 1-7.

[4] Katsuhiko Yamada, Ichiro Jikuya. Directional Passability and Quadratic Steering Logic for Pyramid-type Single Gimbal Control Moment Gyros[J]. Acta Astronautica, 2014, 28(5): 103-123.

[5] Fan Jixiang, Zhou Di. Nonlinear Attitude Control of Flexible Spacecraft With Scissored Pairs of Control Moment Gyros[J]. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 2012, 134(5): 054502-1.Simulation Analysis on Singularity of Single-GimbalControl Moment Gyros

(责任编辑：季春阳)

Yu Qi， Fan Jixiang，Yan Yuxin，Zhang Weiguang

(Harbin Normal University)

The singularity of the scissored pairs of control moment gyros(CMGs) system is researched in this paper, in which one single-gimbal control moment gyros(SGCMG) is invalid. For the situation that one SGCMG is invalid in the orthogonally mounted scissored pairs of CMGs, the singular angular momentum hypersurface of residual SGCMG system is drawn and the composition and characteristics of the singular surface are analyzed, which would provide important basis for designing the steering law of SGCMG system.

Control moment gyros; Singularity; angular Momentum; Configuration

2016-05-09

*哈尔滨师范大学青年学术骨干资助计划项目(KGB201233); 黑龙江省自然科学基金项目(A2016005)

O47

A

1000-5617(2016)03-0046-03

**通讯作者：hwfjx@163.com