满忠实函子诱导的三角范畴中心间的态射

李洪岩

(安徽交通职业技术学院 土木工程系，合肥 230001)



满忠实函子诱导的三角范畴中心间的态射

李洪岩

(安徽交通职业技术学院 土木工程系，合肥 230001)

三角范畴; 三角函子; 分次中心; 分次同态

一个三角范畴(C,Σ)的中心Z*(C)定义为一个Z-分次交换环，其中第n个分支是由满足一定交换条件的从恒等函子Id到Σn自然变换所构成. 显然，分次中心Z*(C)有如下泛性质：若分次交换环R*在三角范畴C上有作用，则存在R*到Z*(C)的分次环同态。Buchweitz和Flenner在研究奇异空间Hochschild上同调理论中第一次系统介绍了三角范畴的分次中心。[1]设F:C→D为三角范畴之间的三角函子，一个自然的问题是问F何时能诱导它们分次中心之间的分次环同态. Linckelman[2-4]证明了，若存在三角函子G:D→C，它既是的左伴随函子，又是F的右伴随函子，则在满足一定相容性条件下，F诱导了两个三角范畴分次中心的同态. Krause和Ye在文献[3]中讨论了三角范畴分次中心的一些基本性质，如一个三角范畴的分次中心到它的满子范畴Vedie商范畴的分次中心之间的环同态。 本文清晰地给出了由一个满忠实函子诱导的分次中心之间的态射。

1 预备知识

1.1 三角范畴与三角函子

设C为加法范畴，Σ为C的自同构函子. C中的一个态射序列

称为一个三角。记ε为C中一些三角构成的类. 如果ε满足公理(TR1), (TR2), (TR3) 和 (TR4)，则三元组(C,Σ,ε)称为三角范畴[5]。 此时，ε中的三角称为好三角。 有时将三角范畴(C,Σ,ε)简记为(C,Σ)或C。

为D中的好三角，则称(F,ξ)为三角范畴C到D的三角函子。

一个函子F:C→D称为满的(或忠实的)，如果对任意X,Y∈C,

F:HomC(X,Y)→HomC′(FX,FY)

是Abel群的满同态(或单同态)。 若F既是满的又是忠实的，则称F为满忠实的。

1.2 三角范畴的中心

定义 设(C,Σ)是三角范畴。 三角范畴C的中心是指一个Z-分次交换环

Z(C)=⊕n∈ZZn(C)，

其中：Zn(C)={η:IdC→Σn为自然变换对任意X∈C，都有ηΣX=(-1)nΣ(ηX)}。

乘法由自然变换的复合给出。 不难验证该乘法是分次交换的，即对任意ζ∈Zm(C)η∈Zn(C)，

ηζ=(-1)mnζη。

设(C,ΣC)和(D,ΣD)均为三角范畴，(F,ξ):C→D为三角函子。 对任意正整数n, X∈C, 将下列态射的复合

引理 设m,n为整数。 则对任意X∈C，

证明 由定义可知，对任意m,n,

2 主要结果

(1)

设f:X→X′为C中任一态射. 由自然同构ξ:F°ΣC→ΣD°F可得，

ΣD(Ff)°ξX=ξX′°F(ΣCf)。

(2)

考虑D中态射Ff:FX→FX′，由自然变换α:IdD→ΣD，有

ΣD(Ff)°αFX=αFX′°Ff。

(3)

考虑D中态射ξX:FΣCX→ΣDFX，由自然变换α:IdD→ΣD可得，

ΣD(ξX)°αFΣCX=αΣDFX°ξX，

即

于是，我们有

于是

由上述引理可知，

[1] Buchweitz R-O，Flenner H.Hochschild (co-)Homology of Singular Spaces[J]. Adv Math，2008,271(1): 205-242.

[2] Linckelmann M. On Graded Centres and Block Cohomology[J]. Proc Edinb Math Soc，2009,52(2):489-514.

[3] Krause H ，Ye Y. On The Centre of a Triangulated Category[J]. Proc Edinb Math Soc, 2011, 54(2):443-466.

[4] Linckelmann M，Stancu R. On The Graded Center of The Stable Category of a Finite P-Group[J]. Pure Appl Algebra, 2010,214(6): 950-959.

[5] 章璞.三角范畴与导出范畴[M].北京：科学出版社，2015：174-178.

[责任编辑：张永军]

Homomorphisms Between Centers of Triangulated Categories Induced by A Fully Faithful Triangle Functor

LI Hong-yan

(Department of Civil Engineering, Anhui Communications Vocational and Technical College, Hefei 230001, China)

triangulated categories; triangle functor; graded center; graded homomorphism.

2016-07-21

安徽省自然科学基金项目(1508085QG149)资助。

李洪岩(1980—)，男，安徽舒城人，安徽交通职业技术学院土木工程系讲师。

O154

A

2096-2371(2016)04-0011-03