考虑参数相关性的结构二阶可靠性分析方法

姜 潮 邓青青 张 旺

湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙，410082



考虑参数相关性的结构二阶可靠性分析方法

姜 潮 邓青青 张 旺

湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙，410082

提出了一种基于vine copula函数的二阶可靠性分析方法(VC-SORM)，为存在复杂多维相关性的结构可靠性分析提供了有效手段。通过vine copula函数将随机向量多维概率分布函数转换为多个二维copula函数，基于极大似然估计法和AIC信息准则对各二维copula函数进行最优化选择，从而构建出联合概率分布函数，并进行一阶可靠性分析；在一阶可靠性分析的基础上，对功能函数进行二阶近似，获得精度更高的可靠性分析结果。最后通过两个数值算例验证了该方法的有效性。

结构可靠性；vine copula函数；二阶可靠性分析方法；参数相关性

0 引言

在结构可靠性分析领域，通常使用概率模型描述载荷、材料属性、结构尺寸等存在的不确定性。基于概率模型，已发展出了一系列有效的可靠性分析方法，如一次二阶矩法(first order reliability method, FORM)[1]、二次二阶矩法(second order reliability method, SORM)[2]、体系可靠性分析[3]、响应面法[4]、蒙特卡罗(Monte Carlo)方法[5]等。现有可靠性方法很多时候假设各随机变量相互独立，并转换到标准正态空间进行求解。然而，在很多实际工程问题中，随机变量间具有相关性[6]，且变量间的相关性可能对可靠性分析结果产生很大影响。目前处理相关性的可靠性方法主要有Nataf变换[7]和Rosenblatt变换[8]。Nataf变换用边缘分布和相关系数矩阵将多维相关非正态变量转换为标准独立正态变量进行处理，在可靠性领域已经得到广泛应用[9-10]。然而Nataf变换仅考虑了变量间的线性相关性，只能在某些特定样本分布的情况下较好地度量变量间相关性；当很多样本分布类型或者变量间的联合分布函数不服从高斯分布时，该方法可能存在较大误差[11]。理论上，Rosenblatt变换是一种精确的相关性处理方法，它对输入随机变量取条件将原相关变量转换为标准独立正态变量,但是，Rosenblatt变换必须基于精确的联合概率分布函数，而实际工程中多维随机变量的联合概率分布函数通常是未知的，所以其实际应用受到较大限制。

近年来，在不确定性分析领域已出现了一种处理随机变量相关性的有效数学工具，即copula函数。copula函数最早由Sklar[12]提出，它可以被视为一种边缘分布和联合分布之间的连接函数[13]，可用于建立具有相关性的随机向量的联合分布函数。copula函数已经在金融和水文等领域得到大量应用[14-15]，因为其在处理随机相关性方面的强大功能，近年来被逐渐引入结构可靠性领域。Lebrun等[11,16]证明了在可靠性领域常用的Nataf变换可等效为Gaussian copula函数，并比较了在二维copula情况下Nataf变换和Rosenblatt变换对计算结果的不同影响。Noh等[17]利用Gaussian copula函数求解了RBDO问题。Tang等[18]研究了不同copula函数对两变量相关模型可靠性分析结果的影响。Jiang等[19]提出了一种基于copula函数的证据理论模型，并构建了相应的结构可靠性分析方法。上述研究为copula函数在结构可靠性中的拓展和应用作出了有价值的探索和尝试，使相关工作成为近年来结构可靠性分析领域的前沿性和重要性研究方向。然而，这些工作在考虑参数相关性的同时主要是基于一阶可靠性方法进行分析的，即将原功能函数进行一阶泰勒展开并计算近似可靠性。该处理方式对于很多非线性程度不高的功能函数具有理想的分析精度，但是当功能函数非线性程度较高时，该类方法存在传统FORM的不足，即可能造成较大的可靠性分析误差，难以满足工程需要。为减小一阶可靠性方法线性化展开造成的误差，建立一种基于copula函数的精度更高的高阶可靠性分析方法，对于copula函数在结构可靠性领域的更深入拓展以及实际复杂结构适用能力的提升都具有重要的理论意义和工程意义。

本文基于不确定性分析领域近年来发展出的一种处理随机变量相关性的新型数学模型——vine copula函数[20]，并在笔者现有研究[21]的基础上提出了一种结构二阶可靠性分析方法(vine copula based second order reliability method,VC-SORM)，为存在复杂多维相关性的结构可靠性问题提供了一种高精度的分析方法。

1 vine copula函数基本原理

copula函数可视为一维边缘分布与多维联合分布间的连接函数。由Sklar定理[12]，若n维连续随机向量x=(x1,x2,…,xn)的边缘分布为F1(x1),F2(x2),…，Fn(xn)，则存在唯一copula函数C，使得

F(x1,x2,…,xn)=C(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))

(1)

其中，F(x1,x2,…，xn)为随机向量x的联合概率分布函数。对式(1)求导可得x的概率密度函数：

f(x1,x2,…,xn)=

(2)

其中，fi(xi)为边缘概率密度函数，c为copula函数C的密度函数：

(3)

目前常用的几类二维copula函数见表1[13]，表1中θ为copula函数中的相关性参数。这类函数只能较好处地理二维变量间的相关性，但难以完整描述多个变量间的耦合相关关系。

表1 本文所用二维copula函数

对于多维相关性问题，近年来不确定性分析领域出现了一种更为灵活的数学工具——vine copula函数[20,22-24]。vine copula函数的核心思想是通过对多维随机变量的联合概率密度函数进行分解，将其转换为若干个关于原变量或其条件变量的二维copula函数进行处理。对于随机向量x，按照传统方法，可通过Rosenblatt变换[14]将其联合概率密度函数f(x1,x2,…,xn)进行分解：

f(x1,x2,…,xn)=f1(x1)f2|1(x2|x1)·

f3|1,2(x3|x1,x2)…fn|1,2,…,n-1(xn|x1,x2,…,xn-1)

(4)

其中，fk|1,2,…,k-1(xk|x1,x2,…,xk-1)为条件概率密度函数，k=2,3,…,n。对于两变量情况，由式(2)有：

c12(F1(x1),F2(x2))f2(x2)

(5)

其中，c12为变量x1、x2之间的copula密度函数。对于三变量情况，有

c13|2(F1|2(x1|x2),F3|2(x3|x2))f3|2(x3|x2)=

c13|2(F1|2(x1|x2),F3|2(x3|x2))·

c23(F2(x2),F3(x3))f3(x3)

(6)

F1|2(x1|x2)=C1|2(F1(x1)|F2(x2))=

(7)

F3|2(x3|x2)=C3|2(F3(x3)|F2(x2))=

(8)

由式(6)～式(8)，三维概率密度函数f(x1,x2,x3)可作如下分解：

f(x1,x2,x3)=

f1(x1)f2|1(x2|x1)f3|12(x3|x1,x2)=

f1(x1)f2(x2)f3(x3)c12(F1(x1),F2(x2))·

c23(F2(x2),F3(x3))c13|2(F1|2(x1|x2),F3|2(x3|x2))

(9)

上述分解过程用到了条件分布函数式(7)和式(8)，为表述方便，引入以下h方程来表示二元条件分布：

(10)

ui=Fi(xi) uj=Fj(xj)

对于四维以上概率密度函数，上述分解过程存在多种方式，为方便将多维联合分布函数分解为二维分布，Bedford等[22-23]引入了一种树结构图——vine模型来描述不同的分解方式。常用的vine模型有canonical vine和D-vine，为简化问题，本文仅考虑D-vine模型。D-vine模型由若干个树结构组成，对于n维D-vine模型，含n-1层树结构Tj,j=1,2,…,n-1 ，树Tj有n-j+1个节点和n-j 条边，每条边代表一个二维copula密度函数，例如14|23表示copula密度函数ci,j+1，i=1,2,…,m-1，树l(2≤l≤m)中的copula函数对为ci,i+l|i+1,i+2,…，j+l-1，i=1,2,…,n-l。一般地，随机向量x的概率密度函数f(x1,x2,…，xm)对应的D-vine模型如下[24]：

xi+1,xi+2,…,xi+j-1),Fi+j|i+1,i+2,…,i+j-1(xi|

xi+1,xi+2,…,xi+j-1))

(11)

其中，fk(xk)表示随机变量的边缘概率密度函数，k=1,2,…,m，下标j表示树Tj，下标i表示树Tj中的边。

2 结构二阶可靠性分析方法

假设结构中含n维随机向量x，其功能函数g为

g(x)=g(x1,x2,…,xn)

(12)

则极限状态面g(x1,x2,…,xn)=0将变量空间划分为可靠域ΩR={x|g(x)>0}和失效域ΩF= {x|g(x)≤0}。设x的联合概率密度函数为f(x1,x2,…，xn)，则结构失效概率Pf可表示为

Pf=∫…∫g(x)≤0f(x1,x2,…,xn)dx1dx2…dxn

(13)

结构可靠度R=1-Pf。而实际工程中，存在着大量的多维相关性问题，即多个随机变量(超过两个)之间具有复杂的相互影响关系。文献[21]针对上述多维相关性问题提出了一阶可靠性分析方法(VC-FORM)，对于很多非线性程度不高的功能函数具有理想的精度。在该方法的基础上，进一步构建一二阶可靠性分析方法(VC-SORM)，对于非线性程度较大且存在多维相关性随机变量的功能函数可靠性问题也能达到理想的精度，从而为复杂结构的可靠性分析提供一种潜在计算工具。

2.1 多维联合概率密度函数构建

对于多维相关问题，可基于vine copula将多维分布转换为边缘分布与多个二维copula函数的乘积，如式(11)所示。各随机变量的边缘分布在实际工程问题中通常较易获得，为此联合分布函数的建立将最终归结为多个二维copula函数的构建问题。对于两变量问题，通常需要基于样本选择最优的copula函数来保证相关性分析的精度。下面基于极大似然估计法[25]和AIC准则(Akaike information criterion)[26]对随机变量的样本进行统计推断，从而对变量间的最优copula函数进行选择并估计相应的相关性参数。

针对随机向量x中的任一对随机变量x1、x2，其边缘累积分布函数分别为F1(x1)、F2(x2)，样本集为{x1i,x2i}，i=1,2,…,m，其中m为样本总数。为选择其最优copula函数，可对任一备选copula函数C，建立似然对数函数如下：

(14)

其中，c为C的密度函数，θ为copula函数中的相关性参数。则θ的估计值可由极大似然估计法求得：

(15)

t copula函数中的自由度v可用同样方法获得。对所有备选copula函数进行上述分析，获得参数θ(和v)后，可用AIC信息准则[26]选择最优copula函数:

(16)

其中，k为copula函数中参数数目(本文中，对于t copula函数有θ和v有两个参数，其他copula函数只有θ一个参数)。AIC值越小，则该copula对样本数据的拟合程度越好。综上所述，联合概率密度函数的构建流程如下：

(1)基于vine copula，将联合概率密度函数分解为若干个二维copula函数及边缘概率密度函数的乘积。

(2)基于随机变量的样本数据，利用MLE方法估计树1中各备选copula函数的参数，并由AIC准则选出各最优copula函数。

(3)利用h方程将样本数据转换为树2所需数据，并由MLE方法及AIC准则选择出树2中的各最优copula函数。

(4)选出树n-1中的各最优copula函数。

(5)基于式(11)，获得多维联合概率密度函数。

2.2 可靠性计算

首先，进行如下等概率变换[8]：

(17)

其中，y=(y1,y2,…,yn)为独立标准正态向量，Φ为标准正态分布函数。则X空间中的点(x1,x2,…,xn)可通过如下迭代转换至y空间中的点(y1,y2,…,yn)。

迭代1：

令u1=F1(x1),u2=F2(x2)，…,un=Fn(xn)；

令s1=u1，则y1=Φ-1(s1)；

h3|2,1|2(h32(u3,u2),h12(u1,u2))，则s3=Φ-1(r3)；

y4=Φ-1(s4)；

…

得到y空间中的点(y1,y2,…,yn)。

在y空间中定义以下一阶可靠性指标[1]：

(18)

其中，G表示标准正态空间中的功能函数，最优解y*称为最可能失效点(most probable point, MPP)，β为可靠度指标。

本文采用改进的HL-RF算法(improved HL-RF algorithm, iHL-RF)搜索MPP，研究结果表明iHL-RF算法在求解式(18)中的优化问题时具有较高的计算效率及稳健的收敛性[27]。iHL-RF由一系列迭代完成，第k迭代步算法可描述为

(19)

yk+1=yk+αdk

(20)

(21)

通过求解以下优化问题确定步长t：

(22)

式中，c为一常数。

,

(23)

采用传统二阶可靠性方法(SORM)的分析思路，在标准正态空间中，对功能函数G(y)在MPP点y*处进行二阶泰勒展开：

(24)

其中，α、B、βF为一阶可靠性指标。

MPP点处功能函数主曲率为

(25)

其中，bjj为B的对角元素。则式(24)中的功能函数可进一步表示为[28]

(26)

其中，R为二次曲面平均主曲率半径：

(27)

式(26)对应的二阶经验可靠度指标为[28]

(28)

综上所述，本文所提出的VC-SORM算法流程如下：

(1)运用D-vine模型将联合概率密度函数分解为若干个二维copula函数及边缘概率密度函数的乘积；

(2)由随机变量的样本推断出各最优二维copula函数类型及其相关性参数；

(3)建立多维随机变量的联合概率密度函数；

(4)给定初始迭代点x0和迭代步k=0；

(5)用迭代1将随机向量xk转换为标准独立正态向量yk；

(7)令k←k+1,由式(20)得到yk+1；

(8)基于迭代1，反推得到yk+1在原空间上的点xk+1；

(9)如果‖xk+1-xk‖≤ε(ε为容差)，则程序终止，否则转到步骤(6)；

(10)计算一阶可靠度指标βF=‖yk+1‖。

(11)由式(28)计算二阶可靠度指标βS和失效概率Pf=Φ(-βS)。

3 算例分析与应用

3.1 算例一

考虑如下功能函数[29]：

(29)

其中，g0为常数；x1服从对数正态分布；x2服从极值Ⅰ型分布；x3服从Weibull分布，其均值和标准差分别为ux1=1，σx1=0.16，ux2=20，σx2=2，ux3=48，σx1=3。

随机向量x具有500组样本，其分布如图1所示。由图1可知，各变量之间具有较强的相关性，且x2与x3之间具有明显的下尾部相关性。

采用本文方法对该问题进行分析，即使用vine copula函数将多维概率分布分解为多个二维copula函数，并基于变量样本对各二维copula函数类型进行最优选择及参数估计。由样本可计算出随机变量之间各备选copula函数的AIC值，见表2。因为AIC越小表示样本拟合越好，故可知x1与x2，x2与x3，x1|x2与x3|x2对应的最优copula函数类型分别为t copula、Clayton copula、Frank copula，其相应的参数估计值在表2最后两列中给出。

不同常数g0下，使用本文二次二阶矩法(VC-SORM)方法和蒙特卡罗方法(VC-MCS)[21]、一次二阶矩法(VC-FORM)[21]三种算法可靠性分析结果见表3。由结果可知，随着g0的增大，结构的失效概率逐渐增大，同时与蒙特卡罗方法相比，不同常数g0下，本文提出的VC-SORM方法误差均小于VC-FORM方法误差。如当g0=0时，VC-FORM方法相对于VC-MCS的误差为19.35%，而VC-SORM方法相对误差仅为3.23%。同时也分析了不同的变量相关性对可靠性结果的影响，分析过程中常数g0设置为4。假定二维变量间的Kendall相关系数τ相同，并且沿用上一步分析中的最优copula函数类型，令τ从0.1到0.9变化并使用不同方法进行分析，结果见表4。首先，由结果可发现，在不同的相关系数下本文提出的VC-SORM方法误差均小于VC-FORM方法误差。在所有9种情况中，VC-FORM的最大误差达到56.44%，发生在τ=0.1时；VC-FORM的最大误差仅为16.59%，发生在τ=0.3时。另外，对于该问题，随着Kendall相关系数的变大，失效概率整体上也呈现衰减趋势。如τ=0.9时，VC-MCS方法得到的失效概率为0.001 89，而τ=0.1时失效概率变为0.007 76，后者是前者的4.1倍。这表明，对于该问题，随机变量相关性对可靠性结果的影响较为显著，如果单纯将其假设为独立变量进行处理，有可能造成较大的可靠性分析误差。

图1 随机变量样本分布图(算例1)

copula函数参数GaussiantClaytonGumbelFrankθvx1，x2-171．924-184．877-151．429-164．622-153．9530．5934．310x2，x3-799．938-916．365-1202．714-651．739-953．2837．706-x1|x2，x3|x2-106．722-105．361-75．895-96．413-117．5643．123-

表3 不同g0下的可靠性分析结果(算例1)

表4 不同相关系数τ下的可靠性分析结果(算例1)

3.2 算例二

近年来，人们对车身耐撞性的设计要求不断提升。在侧碰工况下，B柱最大加速度是衡量车身耐撞性的重要指标。考虑图2所示的汽车侧碰问题，可移动壁障以50 km/h的速度从侧面撞向车身。影响车身耐撞性的因素较多，Hou等[30]运用因子筛选法(factor screening method)筛选出图2所示的4个车身板厚作为关键设计变量t=(t1,t2,t3, t4)进行分析。为满足侧碰耐撞性要求，B柱最大加速度a不能超过许可值a0，则可建立以下功能函数：

g(t)=a0-a(t1,t2,t3,t4)

(30)

因为制造误差t1,t2,t3,t4均为随机变量，其均值分别为μt1=0.9 mm，μt2=2.1 mm，μt3=1.0 mm，μt4=1.4 mm，变异系数均为0.1，且均服从正态分布。通过实验设计，运用最优拉丁超立方设计方法在设计空间选取41个样本点，并调用有限元模型(FEM)进行分析，在此基础上构建出最大加速度a的响应面函数[30]:

a(t1,t2,t3,t4)=14.5324-0.6917t1+2.4961t2+

0.4466t1t2-0.0473t1t4+0.126t2t3+

0.0621t2t4-0.7866t3t4

(31)

图2 汽车侧碰有限元模型

对4个厚度变量的样本进行统计推断，可确定各变量间的最优copula函数类型及相关性参数，见表5。利用本文的VC-SORM方法及现有的VC-MCS、VC-FORM方法分别对上述问题进行可靠性分析，分析过程中调用式(31)中的响应面函数而非原FEM模型，从而大大提高了计算效率，计算结果见表6。由结果可知，当B柱最大侵入量许可值设定为一个较严格的指标a0=19.50g时，侧碰失效概率超过90%，该情况下车身耐撞性存在较大失效风险，说明该车身结构难以满足给定的最大加速度设计指标。当a0由19.50g增加到19.90g时，车身侧碰失效概率均迅速降低；而当a0达到19.90g时，失效概率已经降低到10-3数量级，说明在该最大加速度的设计指标下车身结构可满足车身侧碰耐撞性的可靠性要求。另外，在不同a0值下，本文提出的VC-SORM算法精度均高于VC-FORM算法精度。当侧碰失效概率较大时，VC-FORM和VC-SORM所得失效概率误差均较小，如当a0=19.50g时，两种方法的误差分别仅为2.15%和1.05%；失效概率较小时，VC-SORM方法误差明显小于VC-FORM方法误差，如当a0=19.50g时，VC-FORM方法误差达到118.21%，而VC-SORM方法误差仅为16.28%，前者是后者的7.26倍。

表5 各最优copula函数及参数估计(算例2)

表6 不同a0下的可靠性分析结果(算例2)

4 结语

本文基于vine copula函数，提出了一种处理多维相关性的结构二阶可靠性分析方法。基于D-vine模型，可将多维随机分布转换为多个二维copula函数的乘积，从而最终转换为常规的二维copula函数构建问题；进行一阶可靠性分析，并在此基础上对功能函数进行二阶近似，获得精度更高的可靠性分析结果。数值算例分析结果表明：与现有的一阶可靠性分析方法VC-FORM方法相比，本文方法具有更高的精度，更适用于处理功能结构函数非线性程度较高的可靠性分析问题。

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(编辑 陈 勇)

Second Order Reliability Method of Structures Considering Parametric Correlations

Jiang Chao Deng Qingqing Zhang Wang

State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body,Hunan University,Changsha,410082

A vine copula based second order reliability method(VC-SORM) was proposed to deal with reliability analysis problems with complex multidimensional correlated variables. The multidimensional probability distribution function was converted into two-dimensional copula functions using vine copula function. The maximum likelihood estimation method and the AIC information criterion(Akaike information criterion) were used to identify the optional two-dimensional copulas. Then the joint probability distribution function was built and the first order reliability results were obtained. Based on the first order reliability results, a reliability results with higher accuracy were obtained using the second order approximation. Finally, two numerical examples were provided to verify the effectiveness of the method.

structural reliability; vine copula(VC) function; second order reliability method; parametric correlation

2016-01-04

国家自然科学基金资助项目(51222502,11172096)；湖南省杰出青年基金资助项目(14JJ1016)

TH122

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.22.015

姜 潮，男，1978年生。湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室教授。主要研究方向为机械设计及理论、汽车CAE技术。邓青青，男，1990年生。湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室硕士研究生。张 旺，男,1990年生。湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室硕士研究生。