导数在几何中的“降维”作用

温金荣

美国数学家波利亚（Polya）曾指出：如果一位数学老师用和学生的知识相称的题目来激起他们的好奇心，并用一些激励性的问题去帮助他们解答题目，那么他就能培养学生对独立思考的兴趣。由此可见，激发学生兴趣，领会和理解数学思想方法，是培养学生数学意识的有效途径。

人教版B教材选修2-2的P10上的“探究与研究”中教材编者给出的一个关于圆的面积和周长的问题，做了一些探讨：研究圆面积与圆周长的关系圆面积S是半径r的函数 ；圆周长C也是圆半径r的函数 。利用导数的定义，一步步地求S对半径r的导数，说出每一步的几何意义，以及它与圆周长之间的关系，类似地讨论球的体积与球面积公式的关系。

这个等式的左端描述了圆的面积S对半径R的导数，而右边部分就是圆周长。

它表明：圆周长公式可由圆面积对R求导而得到。其他各组公式均可类似地得到解释。函数S的增量对自变量R的增量之比是一个半径大于R而小于的一个圆周的长。因而，从这个意义上看来，函数S对自变量R的导数，就是以R为半径的圆周的长。

此外，上述例子的猜想都是基于具有中心的平面或空间图形，其面积相对于中心距离的导数等于图形的周长，其体积相对于中心距离的导数等于图形的表面积或侧面积，不是中心距离为变量不成立。例如：正方形边长用x表示时面积，将面积看作边长的函数对面积求导，。

《数学课程标准》指出，应努力“发展学生的数感”，这里的“数感”即是对客观事物和现象数学量方面的某种敏感性。我认为在教学过程中，教师要有意识地让学生有更多的机会接触客观事物和现象数学量方面的数学问题，这样学生自然地就能逐步自觉地用数学的思想、观点和方法观察事物、解释现象、分析问题的习惯， 从而拓展学生的数学能力，培养学生的实践能力和创新精神。

参考文献：

[1]刘玉栋，傅佩仁编《数学分析讲义》.