绕一角点的贝齐尔曲面的高斯曲率连续拼接

孟庆贤, 刘金秋

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)



绕一角点的贝齐尔曲面的高斯曲率连续拼接

孟庆贤, 刘金秋

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

在绕一角点矩形域上贝齐尔曲面的光滑拼接中,切平面连续拼接已经实现。由于曲率连续拼接条件比较复杂,所以至今没有被解决,因而寻求一种拼接光滑程度好于切平面连续拼接而条件弱于曲率拼接的方法是很有意义的。利用切平面连续拼接的条件和高斯曲率定义,结合微分几何知识找到了2张贝齐尔曲面高斯曲率连续拼接的条件,这需要满足3个方程组。根据贝齐尔曲面的高斯曲率拼接的条件,方程组应具有相容性。根据相容性得到了方程组解的存在条件和绕一角点的矩形域上贝齐尔曲面的高斯曲率连续拼接方法。高斯曲率连续拼接的光滑程度优于切平面连续拼接,而且该方法容易在实际应用中实现。

贝齐尔曲面; 切平面连续; 高斯曲率; 光滑拼接;控制顶点

0 引 言

曲面的光滑拼接是计算机辅助几何设计的重要研究内容。实际应用中物体的表面一般不是一张光滑的解析曲面,而是用多张曲面拼接而成。这样就产生了如何使得曲面在拼接处美观光滑的问题。常用的拼接方法有3种,连接、切平面连续拼接和曲率连续拼接。贝齐尔曲面的形状仅靠顶点控制,曲面形状容易掌握,人们经常用贝齐尔曲面来拼接实际曲面。因此绕一角点的矩形域上的贝齐尔曲面的光滑拼接问题是非常值得研究的。对于这个问题,Du等[1]研究了绕一角点的矩形域上的贝齐尔曲面切平面连续拼接问题。施法中[2]提出了2张矩形域上的贝齐尔曲面曲率连续拼接的条件,但是由于拼接条件比较复杂,至今没有得到解决。对于矩形域上的贝齐尔曲面,没有拼接光滑程度比切平面连续更好的绕一角点的连续拼接方法。于是本文提出了绕一角点的矩形域上的贝齐尔曲面的高斯曲率拼接,此拼接光滑程度好于切平面连续拼接,但条件弱于曲率拼接。而且解法中待定系数较多,有利于曲面形状的调整。

对于曲面光滑拼接问题,一些作者进行了研究。Zhang等[3]用混合方向导数的方法构造了贝齐尔三角曲面的切平面连续拼接方法。Jones[4]讨论了绕一角点的多项式曲面连续拼接问题。文献[5-8]研究了三角贝齐尔曲面的光滑拼接问题。Meng[9]讨论了绕一角点的多项式曲面的曲率拼接问题。由于多项式曲面的形状由多项式的系数确定,几何特征不像贝齐尔曲面那样直观和易于控制。文献[10]讨论了平移曲面,对于平移曲面的连续拼接也是一个值得研究的课题。文献[11-12]讨论了贝齐尔曲面几何连续拼接与曲面构成问题。文献[16]中陆军讨论了带约束条件的三角曲面片的近似合并问题。

1 2张相邻的矩形域上贝齐尔曲面高斯曲率连续拼接的条件

(1)

(2)

(3)

则它们沿边界高斯曲率连续。

(4)

其中i=0,1,2,…,n。由式(4)中的3)可得

所以有

化简可得

(5)

2 绕一角点的矩形域上贝齐尔曲面高斯曲率连续拼接方法

(6)

通过上述4步,可求出n张贝齐尔曲面上靠近边界线的2排顶点。而讨论过程中没涉及的顶点可根据情况任意选择。这样可得到绕一角点的n张贝齐尔曲面的所有控制顶点,其中αk,βk,γk在切平面连续拼接中要用到,ai,(i=1,2,…,6)可任意选择,可以根据实际图形确定。

3 结 论

本文讨论了矩形域上的贝齐尔曲面绕一公共角点高斯曲率光滑拼接的条件。首先,寻求矩形域上2张贝齐尔曲面的高斯曲率光滑拼接的条件;然后,根据这些条件来推导矩形域上n张贝齐尔曲面绕一公共角点的高斯曲率光滑拼接条件的方法。按此方法进行拼接,其光滑程度好于切平面连续拼接,而且易于实现。

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Gaussian curvature connection of Bézier surfaces with a common vertex

MENGQingxian,LIUJinqiu

(College of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

For the connection of Bézier surfaces on the rectangular areas with a common vertex, connection with tangent plane continuity has been realized, but the connection with curvature continuity is still unsolved, therefore, it is important to seek the method of connection which the spliced smoothness is better than that of tangent plane continuity, and the conditions are weaker than those of curvature continuity. Based on the conditions of tangent plane continuity, the definition of Gaussian curvature and geometric knowledge, the conditions of Gaussian curvature connection between two adjacent Bézier surfaces are obtained, and three systems of equations should be satisfied. The equations should have consistence according to the conditions of Gaussian curvature connection. The conditions of existence of solutions and the method of connection of Bézier surfaces around a common vertex with Gaussian curvature continuity are presented. The spliced smoothness is better than that of tangent plane continuity, and this method can be used easily in practical application.

Bézier surface; tangent plane continuity; Gaussian curvature; smooth connection; control point

2016-09-16。

国家自然科学基金资助项目(11371080)。

孟庆贤(1957-),男,辽宁北票人,沈阳师范大学副教授,博士。

1673-5862(2016)04-0430-04

TP391

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.04.010