关于SM(L)∩M(L)元素性质的讨论

张立国

(沈阳理工大学 理学院，沈阳 110159)



关于SM(L)∩M(L)元素性质的讨论

张立国

(沈阳理工大学 理学院，沈阳 110159)

研究SM(L)∩M(L)的元素性质，利用其刻划完全分配格，在此基础上推广了G.N.Raney定理，为连续格理论和Fuzzy拓扑学的研究提供新的思路。

完全分配格；极小集；超分子

完全分配格是经典格论的重要研究对象，对其刻划的讨论一直是热点问题。无论是连续的DCPO理论，还是Fuzzy拓扑学都对其做出过相关的研究。分子与超分子都是刻划完全分配格的工具，两者的结合使用对于完全分配格的结构研究是非常重要的.文献[1]对超分子集SM(L)与分子集M(L)的交集SM(L)∩M(L)的结构进行讨论，但没有对完全分配格能被SM(L)∩M(L)的元素刻划问题作出回答。本文讨论SM(L)∩M(L)的元素性质，利用其刻划完全分配格，并借助其结论推广了G.N.Raney定理，从而使完全分配格的“点”概念更加具体化，为连续格理论和Fuzzy拓扑学的后续研究奠定基础。

1 预备知识

设L是完全分配格，M(L)表示L的分子集。若a∈L，以β(a)表示a的最大极小集，β*(a)=β(a)∩M(L)。可以证明a是分子当且仅当β*(a)是定向集。设a,b∈M(L),a≤b,则a<

2 SM(L)∩M(L)的基本性质

定义1[2]设L是完备格，a∈L，a≠0，若∀A⊆L,且∨A>a,∨A∈M(L),都存在d∈A使得a≤d,则称a是超分子。由超分子组成的集合,记作SM(L)。

由定义1很容易得到下面的命题：

命题1 设L是完全分配格，则a∈SM(L)∩M(L)当且仅当∀b∈M(L)且b>a，则a∈β*(b)。

证明:(⟸)设A⊆L是任给的集合，∨A∈M(L)且∨A>a，则据已知条件可知a∈β*(∨A)。由于∨A的分子极小集β*(∨A)加细A，从而存在d∈A，使得a≤d。因此有a∈SM(L)∩M(L)。

(⟹)设b∈M(L)且b>a，则β*(b)⊆L且∨β*(b)>a，由条件a∈SM(L)可知，存在d∈β*(b)使得a≤d。又因β*(b)是下集，故a∈β*(b)。

定义2[3]设A是完备格，a，b∈A，若L中每个定向集D，当∨LD≥b 时，有x∈D使得x≥a，称为a Way below b，记作a≪b。

对于a∈A，记↓ˇ(a)={x∈A| x≤a}。

命题2 设L是完全分配格，a∈SM(L)∩M(L)，∀b∈M(L),b>a,则a≪b。

证明：设∀b∈M(L),b>a,则由于命题1可知有a∈β*(b)。若D⊆M(L)是定向集，∨D≥b>a,由于β*(b)加细D，从而存在d∈D使得a≤b,因此a≪b。

3 SM(L)∩M(L)的元素对完全分配格的刻划

根据前面的讨论可以看到，SM(L)∩M(L)中的元素具有很好的性质，在一定程度上能简化对完全分配格问题的处理，那么SM(L)∩M(L)中的元素能否阐述完全分配格的结构。

引理1[4]设L是完全分配格，且b∈α(a)，则存在L使c∈α(a)且b∈α(c)。

引理2[4]设L是完全分配格，且b∈α(a)，则存在c1，c2，…∈L，满足如下条件：

(Ⅰ)c1∈α(a)，ck+1∈α(ck)。k=1，2，…

(Ⅱ)b∈α(cn)，n=1，2，…

引理3 设L是完全分配格，a，b∈L，且b∈α(a)，则L中存在理想I满足：

(Ⅰ)a∈I⊂↓(b)；

(Ⅱ)∀x∈L/I，L/I中有极小元m，使得m≤x。

(Ⅱ)设x∈L/I，则{x}是L/I中由一个元组成的链。由kuratowski引理可知，L/I中存在包含{x}的极大链φ。令m=infLφ，只需证明m∉I即可。事实上，设m∈I，则存在自然数k使m∈↓ck，从而m≤ck，即infLφ≤ck。但是ck+1∈α(ck),由极大集的意义知，存在y∈φ，使得y∈↓ck+1，那么y∈↓ck+1⊂I。这与y∈φ⊂L/I相矛盾。

定理1 设L是完全分配格，则L中每个元素都可以表示成SM(L)∩M(L)元素之并。

证明：设e∈L,若e=0，取SM(L)∩M(L)的空子集，使得e=supφ。

若e≠0,令π(e)={x∈L| x≤e,且x∈SM(L)∩M(L)}，则supπ(e)≤e。只需证明supπ(e)≥e即可。事实上：设a=supπ(e),且a≥e不成立，则必存在b∈α(a)且b≥/e,由上述引理3可知，存在理想I，则a∈I⊂↓(b)。因为b≥/e，从而e∉I，即e∈L/I。由引理3可知L/I中有极小元m 使得m≤e。(显然有m≠0)。

否则：对于任意x∈A，m≤/x，于是m∧x

考查理想I的构造，由引理3的证明可知：

(Ⅰ)存在k∈N,使得B⊆↓(ck)，则∨B=m

(Ⅱ)若任意n∈N,存在x∈A，使得m∧x≥cn。此时∨I≤∨B=m，于是I⊆↓0(m)。其中↓0(m)=↓(m){m}。由m的极小性可知↓0(m)⊆I，故I=↓0(m)。又必存在x0∈A，使得x0∈L/I(否则A⊆I⟹∨A≤m)，且x0与m不可比(由前面的假定可知)，由引理3的条件(Ⅱ)可知，存在极小元m1∈L/I使得m1≤x0，从而↓0(m1)⊆↓0(m)，其中↓0(m1)=↓0(m1){m1}于是显然有m1≤m。讨论：

①当m1

②当m1=m时，m≤x0,这与m和x不可比相矛盾。

综上所述①、②均不成立。由此可见，必存在x∈A，使得m≤x，故m是超分子，即m∈SM(L)。

第二，由于家庭部门负债水平的下降会更好地激励居民消费，由此，在居民收入增速下降的背景下，必然会造成居民储蓄存款下降，进而使得信贷资金的供给减少、价格上升，导致投资尤其是缺乏多样化融资手段的私营企业投资增速下降。因此，控制家庭部门负债率，还需要与促进民间投资的手段，如加大税费减免力度、减少行政干预、改善营商环境等相结合，以避免对已经处于增长困境的私营投资产生更进一步地损害。

(2)往证m是分子：若不然，则有x，y使得x∨y=m且m≠x，m≠y。这时x

因而m∈π(e)，进而有m≤a。又I是下集，a∈I，故m∈I这与m∈L/I相矛盾。所以supπ(e)≥e。于是有a=supπ(e)。证毕。

对偶定理 设L是完全分配格，则L中每个元素都可以表示成SM0(L)∩M0(L)元素之交。其中SM0(L)与M0(L)分别是L中的素元集和超素元集。

4 G.N.Raney定理推广

完全分配格是经典格论的重要研究对象，它的本质是满足完全分配律。关于完全分配格的结构研究多种多样，无论是连续的DCPO理论，还是Fuzzy拓扑学，都曾给出过其许多有关的等价命题。但是比较经典的结果则是G.N.Raney在20世纪50年代给出的刻划，其表述如下：

G.N.Raney定理[3]设L是完备格，则L是完全分配格当且仅当以下条件成立：∀a，b∈L，a≤/b，存在p、q∈L使得

(1)a≤/p，b≥/q；

(2)∀x∈L，x≤p或者x≥q。

研究和考查G.N.Raney定理的条件、及其证明方法，可以肯定地说条件中的元素p、q应该是具有某种特殊性质的元素，即p∈SM0(L)∩M0(L)，q∈SM(L)∩M(L)。

定理2 设L是完备格，则L是完全分配格当且仅当以下条件成立：∀a，b∈L，a≤/b，存在p∈SM0(L)∩M0(L)，q∈SM(L)∩M(L)使得

(1)a≤/p，b≥/q；

(2)∀x∈L，x≤p或者x≥q。

证明：(⟸)由G.N.Raney定理可知，充分性显然。

(⟹)若a，b∈L，a≤/b，由G.N.Raney定理可知，存在n、m∈L使得a≤/n，b≥/m。由定理1及其对偶定理可知，存在p∈SM0(L)∩M0(L)，q∈SM(L)∩M(L)，而且n≤p，m≥q使得a≤/p，b≥/q。又因为∀x∈L，x≤n或者x≥m，从而有x≤p或者x≥q。

5 结束语

超分子作为完全分配格的研究工具，其性质需要进一步研究。通过本文取得结论可以看到，把超分子集与分子集联系在一起时，会得到许多很好的结论，同时也会引发新的猜想。例如完全分配格的范畴与并半格范畴的关系等，这些问题都需要进一步做出回答。

[1]张立国.关于SM(L)结构的讨论[J].沈阳理工大学学报，2015，34(4)：61-63.

[2]张立国.完全分配格的刻划[J].浙江师范大学学报，2001，24(1):24-26.

[3]郑崇友，樊磊，崔宏斌.Frame与连续格[M].北京：首都师范大学出版社，1994.

[4]王国俊.L-Fuzzy拓扑空间论[M].西安：陕西师范大学出版社，1988.

(责任编辑：马金发)

Discussion about the Properties of the Element of SM(L)∩M(L)

ZHANG Liguo

(Shenyang Ligong University，Shenyang 110159，China)

The properties of the element ofSM(L)∩M(L) were studied，to depict completely distributive.On this basis G.N.Raney theorem was popularized，to provide some new ideas for continuous lattice theory and Fuzzy topology research.

completely distributive;minimal set;ultra-molecular

2015-11-16

张立国(1970—)，男，副教授.研究方向：模糊拓扑学。

1003-1251(2016)04-0042-03

O189.13

A