在构造中发现，在合作中提炼——高一“分段函数”教学尝试

☉浙江省象山县第二中学　吕增锋

☉浙江省镇海中学裘燕娜

在构造中发现，在合作中提炼——高一“分段函数”教学尝试

☉浙江省象山县第二中学吕增锋

☉浙江省镇海中学裘燕娜

一方面，教材（人教A版）中介绍分段函数的篇幅少得可怜，只给了两道例题，分段函数处于“被遗忘的边缘”；另一方面，针对分段函数的考查层出不穷，并且呈现难度逐渐加大的趋势，分段函数成了“高考的宠儿”.面对这一现实，我们不得不重新审视“分段函数”的教学.

一、前期的思考

（一）教学时机的把握

在教材中，分段函数被安排在“函数的表示法”这一节中，其目的是通过具体的例子，使学生对分段函数有一个初步的了解，包括实际背景、结构特征、定义等.但仅仅具备这些认识是远远不够的，学生还需要进一步了解分段函数的性质，比如单调性、奇偶性、最值等，而这些性质是后面章节探讨的内容，因此，对于分段函数的系统教学宜晚不宜早.我们是在学生学完了这个章节的所有知识后再进行分段函数的教学.这样做的好处：一是学生具备了进一步研究分段函数性质的相关知识；二是通过分段函数的学习，可以对函数的性质进行进一步回顾和梳理.

（二）教学素材的选取

众所周知，分段函数通常是以习题的形式“碎片化”地分布在各地的试卷、练习当中.从分段函数的“题海”中撷取相关的知识点，然后加以分类整理打造新课.这样做似乎很“对路”，但也容易产生不良的后果.比如，纯粹的习题讲解，容易导致枯燥、无趣，这不是“新授课”该呈现的风格；分段函数题目综合性较强，选题不当很容易超出高一学生的能力范围.如何既能让学生深入理解分段函数，又能使课堂教学自然生动，这使得我们不得不仔细斟酌.

一般情况下，复杂的函数都是由若干个简单的基本初等函数组合而成，分段函数也不例外.对学生而言，最熟悉的函数莫过于这三个函数.能不能通过这三个函数构造出符合条件的分段函数呢？若学生能够熟练构造分段函数，那么对于分段函数的理解必然也不在话下.

二、教学过程

（一）认识分段函数

提示：直接选择上述函数构造分段函数；选上述若干个函数通过加减运算得到新的函数，以这些新函数构造分段函数.

意图：通过“构造”这个思维活动既可以体现学生对分段函数的原有认知，又可以进一步明确分段函数的定义与特征.

由于构造具有随意性，部分学生一不小心就会构造“错误”.

错误主要集中在两点：一是各段之间的定义域出现交叉重叠，二是分段中出现了解析式相同的情景.这两点也是学生常犯的错误.通过展示错误，分析错误原因，教师再进行针对性的纠错，从而使分段函数的概念得到了明晰.

（二）探究单调性

学生从未接触过分段函数的单调性问题，这个问题思维要求显然相对较高，所以，教师采取了小组合作的探究方式，并且要求每个小组举出两个符合要求的分段函数.

意图：学生在构造中主动发现分段函数单调性的实质；小组合作学习方式有利于集中群体智慧，快速完成学习任务.

下面是部分小组的研究成果：

通过小组合作，学生发现分段函数要具备单调性，每段必须单调.比如，要使分段函单调递增，每段首先必须要递增.但这样的认识还不全面，比如，以下几个函数虽然每一段都是递增的，但它们在定义域上却不单调.这到底是为什么呢？

教师画出这几个分段函数的图像，很容易就给出了清晰的解释.于是，通过简单的引导，学生自然提炼出使分段函数具有单调性的另一个条件：在各段衔接处函数值的变化与函数的整体单调性保持一致.例如，f（x）=尽管两段都递增，但当x→0时+∞，这显然与单调递增矛盾.

图1

学生在构造函数过程中，“盲目拼凑”的现象严重，这直接影响了构造的效率.若把这些“原料”函数画在同一坐标系下，借助图像，选择合适的图形片段就很容易构造出符合要求的分段函数.如图1所示，若同样以y=x2与y=-作为基本函数，只要在选择的图形片段上注意保持总体递增的趋势，也能构造单调递增的分段函数，比如借助图像不仅可以达到“快速判断”的效果，而且能够构造出更多符合要求的分段函数.

（三）探究奇偶性

同样采用小组合作的学习方式，让学生写出尽可能多的符合要求的分段函数.

意图：通过增加“原料”函数的数量进一步丰富分段函数的类型，有利于归纳分段函数奇偶性的特点.

有了构造单调函数的经验，再加上图像的辅助作用，学生得到了很多具有奇偶性的分段函数.列举部分如下所示：

思考：观察上述函数，发现构成这些分段函数的各段函数本身也具有奇偶性，比如其中y=本身都是奇函数，难道这是普遍规律吗？

这就化归为已知分段函数其中一段的解析式，根据奇偶性求另一段的解析式问题.容易求得当x<0时，f（x）= x2-x，则显然，这个分段函数的两段本身并不具有奇偶性.

不仅如此，教师可以趁热打铁，指导学生不通过图像，直接通过解析式，根据定义证明分段函数的奇偶性.这样就实现了从“数与形”两个方面揭示分段函数奇偶性特征的目的.

（1）若f（x）是奇函数，求a的值；

（2）当a>0时，求f（x）在［-2，2］上的最小值.

三、教学反思

（一）让数学学习成为自主发现的过程

数学发展历史表明，数学的产生和发展的过程，从某种意义上讲就是数学发现的过程.数学发现是数学的心搏，没有数学发现，便没有数学生命.新课程也强调要让学生的“数学学习成为再创造，再发现的过程”.当然，数学发现的过程实际上也是明确问题、提出猜想的过程.通常从具体的问题入手，通过观察、试验、分析、综合、抽象概括等思维过程，达到发现新知的目的.本节课最大的亮点就是充分给予了学生自主发现的机会，通过由易到难、逐层递进的方式“构造”丰富多样的分段函数，从而自然而然地发现分段函数的特征与性质.正所谓“随风潜入夜，润物细无声”，这种以“自主发现”式的课堂应该成为教学的主旋律.

（二）让合作学习成为课堂教学的常态

合作学习可以解决个体无法解决的疑难，通过小组讨论、互相启发，达到优势互补，共同解决疑难.合作学习使学生思维的火花得到完美的绽放，实现了教师与学生、学生与学生、教师与教师的多边互动，从而使课堂呈现百家争鸣的新气象.本节课的很多“构造”都是通过合作学习才得以实现，否则仅凭“单枪匹马”很难完成探究任务，并且很多有价值的发现和规律的提炼靠的也是集体的智慧.当然，对于从来没有经历过“小组合作，讨论交流”的学生来说，很难在“偶尔”的几次合作学习中取得预期的成果.“合作”应该是一种意识，一种习惯，需要长期的培养与完善.只有使合作学习成为课堂教学的常态，合作学习才能取得应有的成效.