由厚到薄：教师研读教材的一个原则

刘家良

新教师大多学历高，知识广而深，用他们当中的某些教师的话讲，“初中的这点知识不用怎么去读教材，都在肚里装着，看两眼就能知道课本上讲的是什么”.是的，流于表面上的东西看一看就行，就能到课堂上讲，但这些东西的背后往往“隐藏”着许多有价值的东西，需要教师静下心来仔细研读、挖掘，要读厚教材还要读薄教材，方能连点成线，道出其中的味道，揣摩编者的意图，驾驭教材，讲解起来方能游刃有余.

一、设问

在阅读教材中，若能就某个关键的字、词、句不断质疑，进行设问、联想、释义、延伸，就能丰富文本的解读，增强该知识点理解的厚度，沟通与其他知识点之间的内在联系.

如人教版义务教育《数学》教科书（以下简称《数学》）九年级上册第10页中有这样一句话：“当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实数根.”如何理解“无实数根”的含义呢？在自问中联想到了方程根的定义，根据方程根的定义，可知方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实数根是指x无论取什么实数，式子ax2+bx+c（a≠0）的值都不为0，反之，亦成立.这样的理解价值又有几何呢？且看一题，就能知晓.

例1 若分式对于x无论取任何实数总有意义，则a的取值范围为 .

分析：根据分式有意义的条件，知x无论取任何实数，以x为主元的二次三项式x2+2x+a的值都不为0，那么其相应的方程x2+2x+a=0就无实数根.由Δ=4-4a<0，得a>1.

站在学生认知的层面上，对教材中某些知识的处理方式进行自问，“教材中的这种处理方式，学生接受起来能行吗？”这样会更好地体现因材施教的教学原则.

如《数学》九年级上册第15页中有一段：“思考：从因式分解法可知，方程（x-x1）（x-x2）=0（x1，x2为已知数）的两根为x1，x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？”这段话作为根与系数关系式的引入采用了演绎的方式，逻辑性强，但学生理解起来感到比较抽象，对此，能否改换成由特殊到一般的归纳方式呢？旨在让学生经历计算、观察和猜想的过程，在过程中感悟，虽然用时多些，但易理解、能接受.

在阅读教材中还要通过设问提炼内容，概括、归纳相关知识，在思想的支配下，使零散的知识整体化、系统化，这样教材将会变薄，知识得以上下贯通.

如《数学》九年级上册第45页中有这样一段：“一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象中可得如下结论.（1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x= x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c =0的一个根.（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.”

摘选上面这段话中的其中一点进行“破译”：当Δ<0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴无交点.如何理解这句话呢？当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实数根，也就是说，x无论取什么实数，式子ax2+bx+c的值都不为0，即y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值都不为0，这样抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上的点都不会落在x轴上，即与x轴不相交.知识之间是有一个“链”串在一起的，二次函数与一元二次方程之间是一个相互联系与转化的统一体，数与形相辅相成.一个知识点向四面扩散的过程中，能使孤立的知识点与其周边的知识点串联起一个互通互联的“网”.

二、比对

数学语言简练、严谨，稍一疏忽就会因一字之差使意义改变.在阅读教材中进行比对是准确理解概念内涵和正确运用定理的一个有效方法，在比对中使概念、定理等这些最基本的东西变厚、变清晰.

如《数学》九年级上册第49页中有这样一段：“一般地，当a>0（a<0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x=-时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值.”这段话描述了二次函数最小（大）值的概念.而二次函数的最值概念又常常与二次函数区间段内的最值概念产生混淆，一个奏效的方法就是异同点的比对，二次函数的最小（大）值是“降”（升）走势中的最小（大）值又是“升”（降）走势中的最小（大）值，所以对应着抛物线中的最低（高）点，是自变量x取一切实数值对应y值中的一个“特征”值，且这个值是唯一的，所以二次函数的最小（大）值是二次函数的一种“整体”性质，而二次函数区间段内的最值是x取值中的一部分对应y值中的“特征”值，这一区间段上既有最大值又有最小值，是二次函数的一种“局部”性质，当换一个自变量的区间段时，最值的情况就改变了，它与二次函数有最小（大）值是无关的.现举一例.

例2 已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）.

（1）当b=2，c=-3时，求二次函数的最小值；

（2）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式.

分析：（1）是求二次函数在自变量为全体实数时的最值，所以利用的是最值公式；（2）抛物线开口方向向上，与y轴的交点（0，c2）在y轴的正半轴上，可据此画出“草图”，抛物线与x轴的交点有可能都落在x轴的正半轴上，也有可能都落在x轴的负半轴上，又因函数的最小值是指定自变量x区间段的最小值，所以可从自变量x的指定范围与对称轴x=-的位置关系的三种情况出发逐一进行分类、比较、取舍.

解：（1）y最小==-4；

（2）当c=b2时，y=x2+bx+b2.x指定范围与对称轴x=-的位置关系有三种情况：

①当b≤x≤b+3分布在对称轴x=-的右侧时，则-0，对称轴右侧的函数值y随x值的增大而增大，当x=b时函数值最小，即b2+ b2+ b2=21，解得b=±.但b=-舍去，所以b=.

②当b≤x≤b+3分布在对称轴x=-的左侧时，有->b+3，得b<-2，对称轴左侧的函数值y随x值的增大而减小，当x=b+3时函数值最小，即（b+3）2+ b（b+3）+ b2=21，解得b=-4，b=1.但b=1舍去，所以b=-4.

③当b≤x≤b+3分布在对称轴x=-的两侧时，有b<-

综上，得y=x2+x+7或y=x2-4x+16.

注：此例将二次函数的最值与二次函数区间段内的最值进行了比对，有助于教师深刻理解二次函数最值的概念，同时有助于教师形成表述问题的条理性和思考问题的严谨性.

在相关知识的不断比对中，能体验求知过程中需要严谨求实的治学态度，通过比对，在异中求同中，使知识实现由厚到薄的飞跃.

案例1：《数学》九年级上册第2页中的问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

案例2：《数学》九年级上册第17页中的第12题：一个凸多边形共有20条对角线，它是几边形？是否存在18条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理.

案例3：《数学》九年级上册第22页中的第6题：参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有多少个队比赛？

注：3例中的案例2可以类比案例1（与案例1相仿的习题还有《数学》九年级上册第4页的第6题，第17页的第9题，第25页的第7题）；而案例3既需与案例1类比，又需对比.这3例都可抽象成线段条数的计数问题，而区别点是有向线段和无向线段的不同.如此类似的问题，教材中还有许多.通过这样的比对、归类，使分散在各个板块的题目集中到一起，形成了“类”，既找到了问题解决的方法，又养成了比对的研究习惯，这样，学生负担会变轻，还可实现由学会向会学的转变.

三、善变

练习题、习题和复习题是教材结构的重要组成部分，是及时巩固概念、定理和灵活应用这些知识的重要载体.而这些题具备基础性、典型性的同时，往往留有“回味”和延伸的空间，以供我们教师去研读、拓展.题的研读会使一个题变成多道题，将有助于教师解题教学水平的整体提升.

不满足图形已有的结论，去不断挖掘图形中蕴含的其他结论，将图形进行到底，久之，教师解题教学的探究水平就会逐步得以提升.

案例4：《数学》八年级上册第91页的第3题：

如图1，若D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，垂直于D，BE⊥AC，垂直于E.求证AC=AB.

分析：此题考查线段垂直平分线的性质定理的应用.在分析过程中，可知△ABC为等边三角形，进而有∠A=60°的结论.若CD与BE相交于点F，还能得到EF=DF，CF=BF的结论.

将教材中某些题的题设和结论互换位置，再看其是否成立，有助于教师逆向思维能力的提升.

案例5：《数学》九年级下册第44页中的第13题：

如图2，△ABC中，CD是边AB上的高，且=.

求∠ACB的大小.

分析：教材中有一个渗透射影定理的练习题，而案例5正是那个练习题的逆向表述形式.

善于将教材中的题进行拓展、变式，挑战教材中题的权威性，将有助于教师批判性思维能力的发展.

案例6：将案例5中的“如图2”去掉，其他条件均不变，图形的形状会有变化吗？

分析：CD是边AB上的高，细细品味这句话，高CD的位置有可能在△ABC的内部（即图2的情形），还有可能在△ABC的外部（即钝角三角形的情形，如图3），而后者正是我们应该想到的.而这种情况又确实存在.故此有可能是直角三角形，还有可能是钝角三角形.

站在学生的角度想问题，预设他们解题中可能出现的“误解”情况.如《数学》九年级上册第17页中的第2题中的（3）4x2+4x+ =（2x+ ）2，有部分学生会将4x2误认为（4x）2，导致2现象的出现.

在题目的解读中，又需将众多的题归类，从中寻找出一条贯穿的“主线”，养成概括抽象的能力，减轻学生负担.如《数学》八年级下册第68页中的第9题，此题贯穿的一条主线就是中点四边形的形状取决于原四边形对角线的位置关系和数量关系.

教材是教学目标的载体，研读教材，永无止境，用心去想，用心去做 ，举一反三，触类旁通，经历由厚到薄的辩证过程，这样才能用活教材，实现由“教教材”到“用教材教”的能力提升.