浅析大学数学课堂教学中的极限思想

王晓燕，付俊伟，赵秀芳，王春艳，李 延

（齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）

浅析大学数学课堂教学中的极限思想

王晓燕，付俊伟，赵秀芳，王春艳，李 延

（齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）

数学的发生，发展及其自身无不体现着唯物辩证的精神。极限作为大学数学教学中的一种研究问题的方法和手段，它所蕴含的各种对立统一关系使得我们不仅看重它的工具品格，也越来越看重它的文化品格。高校教师在教授大学数学课程时，要适当地提示数学知识中所蕴含的哲学思想，对学生进行科学的世界观和方法论的教育，这有利于提高学生的品格和素养，即我们不但要着眼于数学的工具品格，而且也要看重数学的文化品格。

大学；数学课堂；极限思想

极限思想起源于我国。公元前三世纪，就有刘徽利用割圆术来精确计算圆的面积，这是极限思想在几何学上的应用。还有很多实际问题，如瞬时速度、切线斜率、曲边梯形的面积、曲顶柱体的体积、变力做功、流体的流量等，都是极限思想的完美体现。在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为研究大学数学教学的一种基本思想方法，比如，在经济数学中，我们可以利用极限的思想对产品的长期价格做出预测。

例：设一产品的价格满足P(t)=20-20e-0.5t(单位：元)，请你对该产品的长期价格做出预测

所以该产品的长期价格为20元

这种无限逼近的极限思想本身是蕴含着丰富的辩证思想的，它是过程与结果，近似与精确、有限与无限、微分与积分、一般与特殊、量变与质变的对立统一[1]。下面我们分别赘述一下这些辩证关系，这对于我们深入研究大学数学的教学是大有裨益的。

一、极限思想是过程与结果的对立统一

二、极限思想是近似与精确的对立统一[2]

高等数学在给出定积分、重积分线面积分的定义时，都是三步，即分割，近似作和，取极限。第二步“近似作和”与第三步“取极限”就体现了近似与精确的对立统一。

经济学中的弹性概念也体现了这一辩证统一关系。一般说来，只要两个经济变量之间存在着函数关系，我们就可用弹性来表示因变量对自变量变化的反应的敏感程度，即它是两个变量各自变化比例的一个比值，它是无量纲的，不同于经济学中另外一个重要概念“边际”，“边际”说白了就是经济学中因变量对自变量的导数，它是有量纲的。举个例子：

下图是需求函数Qd=2400-400p的几何图形

从a点到b点即降价时的价格弧弹性为

从a点到b点即涨价时的价格弧弹性为

显然，涨价和降价产生的需求的价格弹性系数值是不相等的。我们说，弧弹性反映的是a°b弧段当商品的价格变动1%时，需求量变动究竟有多大的百分比，这是a°b段

各点平均的情况，是各点弹性的近似情形。如果精确到要求出具体某点的弹性，即点弹性，我们取极限就可以了。我们先给出价格点弹性的公式

可见，弹性概念体现着近似与精确的对立统一。

三、极限思想是有限与无限的对立统一

如“借马分马”故事。有一位富翁，他临死前留给三个儿子17匹马，要求大儿子得总马数的，二儿子得，小儿子得，并且不许杀死马。富翁死后，三个儿子都不知道如何来分，这时，邻居牵来一匹马，共有18匹马了，于是老大分得9匹，老二分得6匹，老三分得2匹，还剩下1匹马，邻居又牵着自己的那匹马走了，这就是著名的“借马分马”故事。如果没有邻居的那匹马，该如何分割遗产呢？实际上，该问题的核心，是将分遗产的过程无限地进行下去，即老大每次分得的马匹数是数列则其所有项的和为

类似地，可求出老二、老三分得的马匹数为6匹和2匹。可见，我们用无限讨论了有限。我们还可以用有限讨论无限。

四、极限思想是微分与积分的对立统一

第二次世界大战后，日本的家电业迅速崛起，考察一下日本家用电器界建立的电饭煲销售模型。记时刻t已售出的电饭煲总数为x(t)，由于已在使用的电饭煲实际上起着宣传品的作用，粗略地假设每一个售出的电饭煲在单位时间内平均吸引k个顾客，那么在t+Vt时刻电饭煲销售的数量为

两边除以Vt，并令Vt→0，有

即x(t)满足一阶线性微分方程

x(t)=cekt若已知t=0时，x(0)=x0，则满足初始条件的解为x(t)=x0ekt

可见，我们用极限的方法得到了一个电饭煲销售模型，而过程中体现了微分与积分的对立统一。

五、极限思想是一般与特殊的对立统一

以经济学中的复利为例。复利是将到期后的利息，纳入本金继续产生利息的结算方式，设本金A0，年利率为r，如果一年n期计息，t年后本利和为

若令n→∞，就得到连续复利公式

可见，我们用取极限的方法得到了连续复利这一特殊模型，但实际上这一模型反映了现实世界中许多事物增长和衰减的规律，例如植物的生长、人口的增加、机器折旧等，从而它又具有一般性的指导意义。

六、极限思想是量变与质变的对立统一

例当推出一种新的网络游戏时，其销售量与时间的关系为

其中t为月份，(1)请计算游戏推出后第3个月，6个月，9个月和第二年的销售量。(2)请对该产品的长期销售做出预测

解(1)

即当t→+∞时，销售量为0，说明，量变积累到一定程度后发生了质变，即当t→+∞时，购买此游戏的人会转向购买其它游戏。

以上这些既对立又统一的辩证思想，是大学数学的灵魂。

著名数学家B.Demollins说：“没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，人们也无法看透数学的深度；而若没有两者，人们就什么也看不透。”数学的发生，发展及其自身无不反映着唯物辩证的精神，所以我们在教授大学数学课程时，要适当地提示数学知识中所蕴含的哲学思想，对学生进行科学的世界观和方法论的教育，这有利于提高学生的品格和素养。即我们不但要着眼于数学的工具品格，而且也要看重数学的文化品格。

[1]张谋，魏曙光，易正俊.高等数学教学中数学思想的渗透[J].高等理科教育，2015(1)

[2]关文吉.浅谈《高等数学》课的教学方法[J].首都师范大学学报(自然科学版)，2015(2)

[3]高鸿业.西方经济学[M].北京：中国人民大学出版社，2010

[4]于海波.工程实用数学[M].大连：东北师范大学出版社，2011

[责任编辑：潘洪志]

G640

B

1009-6043（2016）12-0161-02

2016-10-27

王晓燕(1972-)，女，黑龙江克山人，齐齐哈尔大学副教授，硕士。研究方向：应用数学。

齐齐哈尔大学教育科学研究项目(2015104)。