求解三角问题的几种常用代换

王健

在三角问题中，注意观察式子的结构特征，做一些相应的代换，转化问题形式，可化生为熟，打开解题通道.本文分类列举介绍三角解题中的几种代换法.

一、角的代换

例1已知cosα+π4=35，π2≤α<3π2，求cos2α+π4的值.

分析本例已知式中的角与所求式中的角差异大，难以沟通.若把α+π4视为一个角，容易沟通已知角与所求角之间的关系.

解令α+π4=β，则2α+π4=2β-π4，且3π4≤β<7π4.

而cosβ=35，所以sinβ=-45，则sin2β=2sinβcosβ=-2425.

又cos2β=2cos2β-1=-725，所以

cos2α+π4=cos2β-π4

=22cos2β+sin2β=22-725-2425=-31250.

二、式的代换

例2设函数y=tanx-1+3-tanx的最大值为m，最小值为n，求mn的值.

分析注意到已知式中两个根式的平方和是常数2，故可将根式中的式子进行三角代换.

解由已知式知1≤tanx≤3.因为tanx-1+3-tanx=2，故可作代换tanx-1=2sin2α，3-tanx=2cos2α0≤α≤π2.这样，

y=2sinα+2cosα=2sinα+π4.

由0≤α≤π2π4≤α+π4≤3π422≤

sinα+π4≤12≤y≤2m=2，n=2，故mn=2.

三、常数代换

例3已知cos4αcos2β+sin4αsin2β=1，求证：cos4βcos2α+sin4βsin2α=1.

分析已知式与所证式中的式子次数高，难以处理，但注意到他们都可以化成平方和等于1的形式，想起三角公式sin2θ+cos2θ=1，可以进行代换来降次化简.

证明已知式即cos2αcosβ2+sin2αsinβ2=1，故可作代换

cosθ=cos2αcosβ，sinθ=sin2αsinβ，即cos2α=cosθcosβ，sin2α=sinθsinβ.

则1=cos2α+sin2α=cosθcosβ+sinθsinβ=cosθ-β.

得θ-β=2kπ，θ=2kπ+βk∈Z.

那么cosθ=cosβ，sinθ=sinβcos2α=cos2β，

sin2α=sin2β

所以cos4βcos2α+sin4βsin2α=cos4βcos2β+sin4βsin2β=1.

四、配对代换

例4求值（1）sin10°sin30°sin50°sin70°；（2）sin220°+cos250°+sin20°cos50°.

分析对于这类典型式子，注意到正弦与余弦互为余函数，可构造出互余式子，配对解答.

解（1）记A=sin10°sin30°sin50°sin70°，

构造B=cos10°cos30°cos50°cos70°，

则

AB=12sin20°·12sin60°·12sin100°·12sin140°

=116cos70°cos30°cos10°cos50°=116B.

因为B≠0，所以A=116为所求.

（2）记A=sin220°+cos250°+sin20°cos50°，配上互余式

B=cos220°+sin250°+cos20°sin50°.

两式相加、相减，可得

A+B=2+sin20°cos50°+cos20°sin50°=2+sin70°，

A-B=-cos40°+cos100°-sin30°=-cos70°-30°+cos70°+30°-sin30°

=-sin70°-12.

将以上所得两式相加，消去B，得2A=2-12，即A=34为所求.

五、边角代换

在三角形中，由正弦定理和余弦定理沟通了边和角之间的关系，因此，对于三角形中一些较复杂的三角式问题，可转化为边之间较简洁的关系，方便解题.

例5在△ABC中，求证

sinA+sinB-sinCsinA+sinC-sinB

sinB+sinC-sinA≤sinAsinBsinC.

分析如果把左式乘开，将不胜其烦.为了简化式子，先用正弦定理转化为边的关系.

证明由正弦定理sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R，代入所求式子中，那么等价于a+b-ca+c-bb+c-a≤abc.

但对于上式仍不易寻得思路，注意到三角形中有两边之和大于第三边，故作代换

a+b-c=x，a+c-b=y，b+c-a=z，易解得a=x+y2，b=z+x2，c=y+z2（其中x>0，y>0，z>0）.

那么原不等式又等价于xyz≤x+y2·z+x2·y+z2.

由均值不等式xy≤x+y2，zx≤z+x2，yz≤y+z2，

三式相乘，得

xyz≤x+y2·z+x2·y+z2，从而原不等式得证.