强双三角子空间格代数上的Jordan导子

金跃强

(南京工业职业技术学院 文理学院，江苏 南京 210023)



强双三角子空间格代数上的Jordan导子

金跃强

(南京工业职业技术学院 文理学院，江苏 南京 210023)

设D是非零的复自反Banach空间X上的强双三角子空间格，A是AlgD的包含全体有限秩算子的子代数，利用秩二算子、幂等算子及同态映射的有关性质，证明了A上的Jordan导子是导子.

双三角子空间格;Jordan导子;秩二算子;同态映射

引 言

在抽象格理论中，双三角格的研究发挥着特殊的作用.自1992年Lambrou和Longstaff在文献[1]中研究了双三角子空间格代数上的有限秩算子以来，关于双三角格代数及其上的映射得到了大量的研究，取得了不少成果[2-7].文献[2-7]研究了强双三角格代数上导子、局部导子、中心化子、(α,β)-导子、初等算子、自同构和Jordan同构等的性质.设A是代数，M是A-模，δ:A→M是线性可加映射.称δ是导子，如果对任给的a,b∈A，都有δ(ab)=δ(a)b+aδ(b)；称δ是Jordan导子,如果对任给的a,b∈A，都有δ(a2)=δ(a)a+aδ(a).显然，导子一定是Jordan导子，但反之却不一定成立.文[8]证明了套代数上的Jordan导子一定是内导子；文[9]证明了JSL代数上的Jordan导子是导子；文[10]证明了三角代数上的Jordan导子是导子等,但双三角子空间格代数非上述类型代数.受以上文献启发，本文将研究双三角子空间格代数上的Jordan导子有关性质.

1 预备知识

设D={(0),K,L,M,X}是非零复自反Banach空间上的子空间格，若满足K∧L=L∧M=M∧K=(0),且K∨L=L∨M=M∨K=X，则称D是双三角子空间格，对应的AlgD称为双三角子空间格代数.进一步，若K+L、L+M或M+K三者中至少有一个是闭的，则称该双三角子空间格为强双三角子空间格.若不加特别说明，本文所指的双三角子空间格均指的是强双三角子空间格.下面给出一些记号：设K0=K∩(L+M)，L0=L∩(M+K)，M0=M∩(K+L)和KP=K⊥∩(L⊥+M⊥),LP=L⊥∩(M⊥+K⊥),MP=M⊥∩(K⊥+L⊥).易知KP,LP和MP在D⊥中的作用与K0,K0和M0在D中的作用相同.

引理1[1]设D={(0),K,L,M,X}是非零复自反Banach空间X上的双三角子空间格,则

(1)K0+L0=L0+M0=M0+K0=K0+L0+M0;

(2)KP+LP=LP+MP=MP+KP=KP+LP+MP.

引理2[1]设D={(0),K,L,M,X}是非零复自反Banach空间X上的双三角子空间格，且K+L是闭的，则

(1)K0+L0+M0在X中是稠的；

(2)KP+LP+MP在X*中是稠的.

引理3[1]设D={(0),K,L,M,X}是非零复自反Banach空间X上的双三角子空间格，且e∈L0，f∈M0，e+f∈K0,e*∈LP,f*∈MP,e*+f*∈KP，那么R=e*⊗f-f*⊗e是秩二算子，且e*(f)=-f*(e).此外,AlgD中的全部有限秩算子均可表示成若干秩二算子之和.

由此可知,双三角子空间格中没有秩一算子,而是包含了大量的秩二算子.

引理4[2]设D={(0),K,L,M,X}是非零复自反Banach空间X上的强双三角子空间格,且dimK0≥2,那么F(K)是一个局部矩阵代数.

引理5[11]局部矩阵环上的Jordan同态映射都是一个同态映射和反同态映射之和.

由引理4和引理5，可得：K上全体有限秩算子构成的代数F(K)上的Jordan同态映射可以分解成同态映射和反同态映射之和.

2 主要结果

引理6 设e∈L0,f∈M0,e+f∈K0，且秩二算子P=e*⊗f-f*⊗e是AlgD中的幂等算子.若存在AlgD中的幂等算子C和D，使得P=C+D成立，那么必有C=0或D=0.

证明:由于P、C和D均为幂等算子,可得P=(C+D)2=C2+CD+DC+D2=(C+D)+CD+DC=P+CD+DC.即有:CD+DC=0.在等式P=C+D两边分别左乘和右乘C,得CP=C+CD和PC=C+DC.从而2C=CP+PC.在等式2C=CP+PC中同时左乘、右乘C可得C=CPC，进而CDC=0.由以上可得CD=DC=0，C=CP和D=DP.不妨设C≠0,那么C=C(e*⊗f-f*⊗e)是幂等元,所以

[C(e*⊗f-f*⊗e)]2=(e*⊗Cf-f*⊗Ce)·(e*⊗Cf-f*⊗Ce)

=e*(Cf)e*⊗Cf+f*(Ce)f*⊗Ce

=C(e*⊗f-f*⊗e)

即有e*(Cf)=-f*(Ce)f*=1.又由于e*⊗f-f*⊗e是幂等算子,则有

e+f=(e*⊗f-f*⊗e)(e+f)

和

1=e*(e+f)=e*((e*⊗f-f*⊗e)(e+f))=e*((C+D)(e+f))=1+e*(D(e+f))，

因此,e*(D(e+f))=0,又由于D=D2=(DP)2=(D(e*⊗f-f*⊗e))2=0.

引理7 设A是AlgD的标准子代数，映射φ:A→B(X)是环同态，映射φ:A→B(X)是反环同态.若对于任意的a∈A都满足φ(a)+φ(a)=a，那么反环同态映射φ=0.

证明：设e*∈Kp,f*∈LP，可取e1,e2∈K0，f1，f2∈L0,e1+f2∈M0,e2+f2∈M0，且e*(f1)=1，e*(f2)=0.因此e*⊗f1-f*⊗e1=φ(e*⊗f1-f*⊗e1)+φ(e*⊗f1-f*⊗e1).利用同态性和反同态性容易验证φ(e*⊗f1-f*⊗e1)和φ(e*⊗f1-f*⊗e1)均为幂等元.由引理6知φ(e*⊗f1-f*⊗e1)=0或φ(e*⊗f1-f*⊗e1)=0.现假设φ(e*⊗f1-f*⊗e1)≠0,故有φ(e*⊗f1-f*⊗e1)=0和φ(e*⊗f1-f*⊗e2)=e*⊗f1-f*⊗e1.而

φ(e*⊗f2-f*⊗e2)=φ((e*⊗f2-f*⊗e2)·(e*⊗f1-f*⊗e1))

=φ(e*⊗f2-f*⊗e2)·φ(e*⊗f1-f*⊗e1)=0

从而有e*⊗f2-f*⊗e2=φ(e*⊗f2-f*⊗e2)=0,而这是不可能的.因此,原假设φ(e*⊗f1-f*⊗e1)≠0错误，即φ(e*⊗f1-f*⊗e1)=0.

对于任意秩二算子u*⊗v-v*⊗i∈AlgD,均有

u*⊗v-v*⊗u=(e*⊗v-f*⊗u)·(e*⊗f1-f*⊗e1)·(u*⊗f1-v*⊗e1)，

所以

φ(u*⊗v-v*⊗u)=φ((e*⊗v-f*⊗u)·(e*⊗f1-f*⊗e1)·(u*⊗f1-v*⊗e1))=0

由于u*⊗v-v*⊗u的任意性，因此φ=0.

引理8 设δK0表示Jordan导子δ在K0上的全体有限秩算子代数F(K0)上的限制，那么δK0是导子.

φ2(u*⊗v-v*⊗u)=φ2((e*⊗v-f*⊗u)·(e*⊗f1-f*⊗e1)·(u*⊗f1-v*⊗e1))

=0

因此φ2=0，δK0=φ2是导子.

引理9 设A是AlgD的标准子代数，δ是φ:A→B(X)上的Jordan导子，∀a,b∈A，都有:δ(ab+ba)=aδ(b)+δ(a)b+bδ(a)+δ(b)a.

证明:由于δ是Jordan导子,

δ((a+b)2)=δ(a2+b2+ab+ba)=aδ(a)+δ(a)a+bδ(a)+δ(b)b+δ(ab+ba)

且有

δ((a+b)2)=(a+b)δ(a+b)+δ(a+b)(a+b)=aδ(a)+aδ(b)+bδ(a)+bδ(b)

+δ(a)a+δ(a)b+δ(b)a+δ(b)b,

将以上两式联立得

δ(ab+ba)=aδ(b)+δ(a)b+bδ(a)+δ(b)a.

定理1 设A是AlgD的标准子代数，δ是A→B(X)Jordan导子,那么δ是导子.

证明：类似引理3，首先取秩二算子P=e*⊗f-f*⊗e,其中e∈L0,f∈M0,e+f∈K0,e*∈LP,f*∈MP,e*+f*∈KP,且e*(f)=-f*(e)=1.∀x∈K0,存在唯一分解x=x1+x2,x1∈L0,x2∈M0.构造映射TK0:K0→X,对∀x∈K0，有TK0(x)=δK0(e*⊗x2-f*⊗x1)(e+f)，δK0如引理8定义.∀b∈A，有bx=bx1+bx2∈K0，则

TK0(bx)=δK02(b·(e*⊗x2-f*⊗x1))(e+f)

=δK0(b)(e*⊗x2-f*⊗x1)(e+f)+bδK0(e*⊗x2-f*⊗x1)(e+f)

=δK0(b)x+bTK0(x)

移项得δK0(b)x=TK0(bx)-bTK0(x)=(TK0b-bTK0)x.∀a∈A,有

δ(ab+ba)x=δK0(ab)x+δK0(ba)x=((TK0ab-abTK0))x+(TK0ba-baTK0)x

=((TK0a-aTK0)b+a(TK0b-bTK0))x+((TK0b-bTK0)a+b(TK0a-aTKa))x

=(TK0a-aTK0)bx+aδ(b)x+δ(b)ax+b(TK0a-aTK0)x.

又由引理9,δ(ab+ba)x=aδ(b)x+δ(a)bx+bδ(a)x+δ(b)ax.取x=e+f∈K0,联立以上两个等式得(TK0a-aTK0-δ(a))b(e+f)=-b(TK0a-aTK0-δ(a))(e+f),进一步取b=e*⊗f-f*⊗e,代入得(TK0a-aTK0-δ(a))(e*⊗f-f*⊗e)(e+f)=-(e*⊗f-f*⊗e)(TK0a-aTK0-δ(a))(e+f)存在与(e+f)无关的常数λ,使得(TK0a-aTK0-δ(a))(e+f)=λ(e+f),代入上式即得λ(e+f)=-λ(e+f),从而λ=0,那么δ(a)(e+f)=(TK0a-aTK0)(e+f).取∀a,b∈A,k∈K0,有δ(ab)k=(TK0ab-abTK0)k=(TK0a-aTK0)bk+a(TK0b-bTK0)k=δ(a)bk+aδ(b)k.同理∀k∈K0,∈L0,都有δ(ab)l=δ(a)bl+aδ(b)l.由引理1和引理2知,K0+L0在X中是稠的,所以δ(ab)=δ(a)b+aδ(b),对∀a,b∈A成立.

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Jordan Derivations on Strongly Double Triangle Subspace Lattice Algebras

JIN Yue-qiang

(College of Arts and Science, Nanjing Institute of Industry Technology, Nanjing 210023, China)

Let D be a strongly double triangle subspace lattice on a non-zero reflexive complex Banach space and A be a subalgebra which contains all finite rank operators in AlgD. By the properties of rank two operators,idempotent operators and homomorphisms of double triangle subspace,it is shown that every Jordan derivation of A is necessarily a derivation.

double triangle subspace lattice; Jordan dervations;rank two operaors; Homomorphisms

2015-09-11

江苏省“青蓝工程”优秀青年骨干教师项目(2014);江苏省自然科学基金项目(BK20150420);江苏省高等教育教改研究项目(2015JSJG497)资助.

金跃强,男,安徽来安人,讲师,硕士,研究方向为数学及其应用.

10.14182/J.cnki.1001-2443.2016.05.003

O177.1

A

1001-2443(2016)05-0420-04