平面向量要点点拨

安徽省太和中学 岳 峻 刘 阳

平面向量要点点拨

安徽省太和中学 岳 峻 刘 阳

向量作为沟通“数”和“形”的重要工具，是现代数学中的基本概念之一。向量具有“几何形式”与“代数形式”两重身份，既有明确的几何意义，又可以像数那样的运算，是代数与几何的一个交汇点。向量为同学们提供了一种重要的、有价值的数学工具，同时又创设了一种新的数学思维情境，把几何从“思辨数学”化成“算法数学”，将“技巧性解题”化成“算法解题”。向量法是一种具有广阔应用空间的通法。

对平面向量的考查分为三个层次：

第一层次：主要考查向量的性质和运算法则，要求掌握基本运算技能，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算。

第二层次：主要考查向量的坐标表示，向量的线性运算。

第三层次：和其他数学知识结合在一起，如可以和曲线、数列等知识结合，考查逻辑推理和运算能力。

应用数形结合思想，将几何知识和代数知识有机地结合在一起，能够开阔解题思路。

一、对平面向量几何运算法则的理解

分析 本题的求解过程实际上就是对平面向量几何运算法则反复应用的过程。

点评 解答此类问题的关键是结合图形合理选取平面向量的基底，并利用向量加、减法表示待求向量。

例2 设a、b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（ ）。

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

分析 平面向量加、减的几何运算遵循平行四边形法则，如右图所示，若|a|=|b|，亦即平行四边形的邻边相等，则该四边形为菱形；若|a+b|=|a-b|，亦即平行四边形的对角线相等，则该四边形为矩形，即a⊥b。

解析 若向量a、b满足|a|=|b|，则以a、b为相邻两边的平行四边形为菱形；

若向量a、b满足|a+b|=|a-b|，则以a、b为相邻两边的平行四边形为矩形。

因为菱形不一定为矩形，矩形也未必是菱形，

所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件。故选D。

点评 本题也可以按如下方法解决：|a+b|=|a-b|⇔（a+b）2=（a-b）2⇔a·b=0⇔a⊥b，与|a|=|b|没有关系，故“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件。

解析 本题如果直接利用向量的夹角公式计算，将有很大的运算量。若利用向量的几何意义，问题将会大大简化。表示点A在以C为圆心、为半径长的圆上，数形结合，易求出的夹角的范围为。故选D。

二、对平面向量坐标运算的掌握

例4 已知平面向量a=（1，2），b=（4，2），c=ma+b（m∈R），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m=（ ）。

A.-2 B.-1 C.1 D.2

分析 平面向量a与b的数量积为a·b=|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角。要注意夹角的定义和它的取值范围（0°≤θ≤180°）。

所以m=2。故选D。

三、三角形内心、外心的向量表示

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

四、平面向量的综合应用

点评 平面向量应用性问题常常要利用向量的坐标运算来解决。当题中出现明显的垂直特征时，应优先考虑建立平面直角坐标系，用向量表示出要题中给定的条件，再利用几何意义进行求解。