高阶中立型非线性时滞动力方程的振动性与渐近性质

韩 忠 月

(德州学院 数学科学学院， 山东 德州 253023)



高阶中立型非线性时滞动力方程的振动性与渐近性质

韩 忠 月*

(德州学院 数学科学学院， 山东 德州 253023)

利用中值定理和变换，研究时标上具有分布时滞的带有扰动项的高阶中立型非线性时滞动力方程，获得了动力方程的无界解以及有界解振动的充分条件，放宽了对方程本身的约束条件，推广和改进了一些已知结果，完善了高阶动力方程的振动理论．

振动定理; 高阶中立型非线性时滞动力方程; 扰动; 时标

讨论具有分布时滞的带有扰动项的中立型非线性时滞动力方程:

(xα(t)+a(t)x(τ(t)))Δn+

g(t)，t∈[t0，∞)Τ.

(1)

本文约定方程(1)满足: m，n是正整数，R+=(0，∞)，sup Τ=∞，[0，∞)Τ=[0，∞)∩Τ．

(H1)g∈Crd(Τ，R)，α≥1是正奇整数之商．

(H2)a∈Crd(Τ，R+)，且0<δ0≤a(t)≤ε0<1，t∈Τ，ε0，δ0是固定常数．

(H4)δ∈Crd(Τ×[c，d]，Τ)，t≤δ(t，c)≤ δ(t，ξ)，(t，ξ)∈Τ×[c，d]．

近几年来关于时标上动力方程定性理论的研究成果越来越多，关于时标上的非线性中立型动力方程的振动理论，也有诸多结果，但这些结果中多是讨论二阶或三阶动力方程的振动与渐近性质，仅列举近期发表的几篇文献[1-3].对于高阶动力方程定性理论的研究结果较少.近期Basak Karpuz[4]研究了动力方程

(x(t)+A(t)x(α(t)))Δn+B(t)F(x(β(t)))=φ(t)

的振动性. 2010年陈[5]研究了下列动力方程的振动与渐近性质．

(a(t)φ(x(t))[|y(t)|α-1y(t)]γ)Δ+

λF(t，x(δ(t)))=0，

其中y(t)=(x(t)+p(t)x(τ(t)))Δn-1.2013年Lynn Erbe[6]等研究了偶数阶动力方程

xΔn(t)+q(t)|x(φ(t))|α-1x(φ(t))=g(t)

的振动与渐近性质.2012年Raziye M[7]研究了高阶动力方程

(xα(t)+p(t)x(τ(t)))Δn+

本文总是限定所讨论的方程(1)的解x(t)满足:对任何t*≥tx，有sup{|x(t)|:t≥t*}>0.如果x(t)既不是方程的最终正解，又不是方程的最终负解，则称x(t)为方程(1)的振动解.如果方程(1)所有解都是振动的，则称方程(1)是振动的．

本文针对两种情况对方程(1)的振动性进行探讨：

1 主要定理及其证明

本文约定x(t)为方程(1)的非振动解，定义z(t)=xα(t)+a(t)x(τ(t))，y(t)=z(t)-h(t)，其中g(t)=hΔn(t)，μi为与αi，i=1，…,m,对应的满足文[9]引理1的一组非负实数．

证明不失一般性，无妨设x(t)为方程(1)的最终无界正解，当x(t)为方程(1)最终无界负解时可类似证明，略.结合条件(H3)和(H4)，一定存在t1≥t0及Τ的无界子集T1，使x(t)>1，x(δ(t，ξ))>1，x(τ(t))>1，t∈[t1，∞)Τ1，ξ∈[c，d].由假设条件可得h(t)，a(t)有界，结合(H3)，无论h(t)振动与否，皆存在t2≥t1及Τ1的无界子集Τ2，使得

a(t)x(τ(t))-h(t)>0，t∈[t2，∞)Τ2，

为方便假设Τ1=Τ2=Τ，进而当t∈[t2，∞)Τ，有y(t)>x(t)>0， 以及

(2)

由文[8]定理5，存在充分大t3≥t2及整数l，满足n+l为奇数，使得yΔi(t)>0，i=1，…，l-1;(-1)l+iyΔi(t)>0，i=l，…，n-1，t∈[t3，∞)Τ．因为y(t)无界，结合上式一定有yΔ(t)>0，t∈[t3，∞)Τ.从而存在t4≥t3，当t∈[t4，∞)Τ时，结合条件τ(t)≤t，则有

y(t)(ε0-a(t))=A(t)y(t)．

引理1证毕．

定理1设(H1)-(H5)成立， τ(t)≤t.若σ(t)=at+b，a≥1，b≥0， 且

t∈[t0，∞)Τ，i=1，2，…，m;

(σ(η)，θ)(Q(η)-1)ΔηΔθ=∞，1≤l≤n-1，

yΔl(t)=Ll+

(3)

yΔl-1(t)-yΔl-1(t2)≥

(4)

运用条件(H4)，(H5)及引理1，对式(4)进一步化简整理可得:

(5)

Q(η)y(δ(η，c)).

(6)

y(δ(η，c)).

(7)

将式(6)，(7)代入式(5)，并应用文[6]的引理2.2和引理2.3可得

yΔl-1(t)-yΔl-1(t2)≥

(σ(η)，θ)(Q(η)-1)ΔηΔθ.

(8)

据文[8]定理5，并结合中值定理，可得

yΔl-1(t)-yΔl-1(t2)≤

yΔl(t2)(t-t2)，t∈[t2，∞)Τ.

(9)

联立式(8)与式(9)，则有

(σ(η)，θ)(Q(η)-1)ΔηΔθ．

结合条件(H7)，上式是不成立的.定理1证毕．

适当加强对扰动项的控制，即将定理1中扰动函数h(t)由有界加强为趋于零，则可得到方程(1)有界解振动的充分条件，此时可以放宽对时标的要求，使得方程(1)所涵盖的范围更加宽泛．

结合条件(H8)与最终有界矛盾. 证毕．

对定理2的证明过程做进一步分析，可以得到如下推论:

定理3的证明与定理2的证明类似，只需做部分调整即可，略．

方程(1)改写为:

(10)

假设

其中λ0为任一正常数．

由条件(H9)及方程(10)，显然方程(1)不存在最终正解， 因此我们只需考虑方程(1)存在最终负解的情况．

故可放宽方程(1)若干限制，有如下结论．

同理可证

ξ)MαiΔξ<-λ0， t∈[t*，∞)Τ，

2 实例

例1考虑文[6]所讨论方程，即考虑方程

4e2πx(t+2π)=sint,t∈R.

(11)

显然，方程(11)有无界振动解x(t)=etsin t．

例2考虑方程

(12)

可验证方程(12)满足定理4条件，据定理4，方程(12)有界解是振动的.事实上方程(12)有解x(t)=sin t.

例3考虑方程

g(t)，t∈Z.

(13)

[1] AGARWAL R P，REGAN D， SAKER S H. Oscillation criteria for nonlinear perturbed dynamic equations of second order on time scales[J]. J Appl Math Computing， 2006， 20(1):133-148．

[2] ERBE L， PETERSON A， SAKER S H. Oscillation and asymptotic behavior of third order nonlinear dynamic equation[J]. Canadian Applied Mathematics Quarterly， 2006， 14(2):129-147．

[3] LI T X， HAN Z L. Oscillation results for third order nonlinear delay dynamic equations on time scales[J]， Bull Malays Math Sci Soc，2011， 34 (3):639-648．

[4] Karpu B. Unbounded oscillation of higher-order nonlinear delay dynamic equations of neutral type with oscillating coefficients[J]. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations， 2009， 34:1-14．

[5] CHEN D X. Oscillation and asymptotic behavior for nth-order nonlinear delay dynamic equations on time scales[J]. Acta Appl Math， 2010， 109(3):703-719．

[6] ERBE L， MERT R， PETERSON A， et al. Oscillation of even order nonlinear delay dynamic equations on time scales[J]. Czechoslovak Mathematical Journal， 2013， 63(138):265-279．

[7] RAZIYE M. Oscillation of higher-order neutral dynamic equati-ons on time scales[J]. Advances in Difference Equations， 2012， 68:1-7．

[8] AGARWAL R P， BOHNER M. Basic calculus on time scales and some of its Applications[J].Result Math， 1999, 35:3-22．

[9] SUN Y G， WONG J S W. Oscillation criteria for second order forced ordinary differential equations with mixed nonlinearities[J]. J Math Anal Appl， 2007， 334:549-560.

Oscillation and asymptotic behavior for higher-order nonlinear neutral delay dynamic equations

HAN Zhongyue

(College of Mathematical Sciences, Dezhou University, Dezhou, Shandong 253023)

Higher-order nonlinear neutral delay dynamic equations with disturbance terms on time scales are studied by using the mean value theorem and transformation. The sufficient conditions for oscillations of both bounded and unbounded solutions for dynamic equations are obtained. These results generate and expand the result given in the literature, improving the oscillation theorem of higher-order dynamic equations.

oscillation theorem; higher-order nonlinear neutral delay dynamic equation; disturbance; time scale

2016-01-07.

山东省自然科学基金项目(ZR2013AM002)；山东省自然科学基金青年科学基金项目(ZR2013AQ005).

1000-1190(2016)04-0496-05

O175.12

A

*E-mail: hanzy699@163.com.