几道2016年国际数学奥林匹克试题求解之深度思考

江西省上饶市鄱阳中学 (333100)

王运良



几道2016年国际数学奥林匹克试题求解之深度思考

江西省上饶市鄱阳中学 (333100)

王运良

解题不是一蹴而就的事.要善于学习，勤于总结.从本文所选例题的证明来看似乎简单容易，其实不然，每道题的求解都是经过精心思考、细致打磨出来的，都饱含着解题者的辛苦和汗水.“汗滴禾下土”，题题皆辛苦.

例1 (2016年土库曼斯坦数学奥林匹克)

注1：换元的目的之一是去根号.本题中，巧妙使用特定的三角换元一举消除两个根号.

例2 (2016年土库曼斯坦数学奥林匹克)

2016年土库曼斯坦数学奥林匹克中还有以下不等式题(留给读者练习):

例3 (2016年丝绸之路国际数学竞赛)

已知a,b,c是满足|(a-b)(b-c)(c-a)|=1的实数，求|a|+|b|+|c|的最小值.

解：不妨设a≥b≥c，则由均值不等式可得

注3：增设条件(排序)的目的为的是去绝对值符号.

但不如前面的方法自然贴切，就如同下面的改编题远不如原题精彩一样：

例4 (2016年澳大利亚数学奥林匹克)

例5 (2016年阿塞拜疆数学奥林匹克)

注5：均值不等式的特征之一是：“和”不小于“积”.剩下考虑的当然就是让字母“火并”.

=(n-1)n，因此，原不等式成立.

注6:n=3时，本题即为2002年拉脱维亚数学奥林匹克试题.

将本题推广，宋庆老师获得并证明了下述结果：

例7 (2016年日本数学奥林匹克)已知a,b,c,d是满足ab+bc+cd=1的实数，求(a2+ac+c2)(b2+bd+d2)的最小值.