由一道高考题探究出圆锥曲线的定值问题

山东省聊城大学数学科学学院 (252000)

孙海玲* 于兴江



由一道高考题探究出圆锥曲线的定值问题

山东省聊城大学数学科学学院 (252000)

孙海玲*于兴江

圆锥曲线是高中几何中的一大难点，而圆锥曲线的证明题更是不少学生“心中的痛”.学生要突破圆锥曲线的难关，必须扎扎实实学好圆锥曲线的基本性质和知识.本文以2016年四川卷理科第20题为例，考察的是有条件限制下椭圆的定值问题，是一道具有潜在价值的好题.笔者以此为基础，探究出圆锥曲线上一类定值问题.

(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;

(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A,B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

图1

探究推广 波利亚说：“中学数学教学的首要任务是加强训练.”在这过程中，教师要对选择的每个数学问题做全面的解题研究，使每道高考题都能体现它思维训练价值，使学生能举一反三、融会贯通.对该题，我们可以进行一些探究.

(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;

(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A,B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

图2

探究2 已知抛物线C：y2=2px，直线l：y=kx+b与抛物线C有且只有一个公共点T.

(1)求抛物线C的方程及点T的坐标;

(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与抛物线C交于不同的两点A,B，且与直线l交于点Q.证明：存在常数λ，使得|QT|2=λ|QA|·|QB|，并求λ的值.

图3

设A(x1,y1),B(x2,y2).将直线y=2kx+b′代入y2=4bkx中，可得4k2x2+4k(b′-b)x+b′2=0.

(1)求双曲线E的方程及点T的坐标；

(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与双曲线E交于不同的两点A,B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

图4

结束语

圆锥曲线问题是每年的必考题，但它考查的基本数学思想是不变的.学生通过对圆锥曲线上一类问题的探究，会有很大收获，可以提高学生发现问题、解决问题的能力，也可发展他们的创新意识.教材是一切知识的源泉，也是重要的思想方法的载体，只有深入研究各种题型并归类，才能达到以不变应万变的复习效果.

[1]夏迎雪，于兴江.一道数学高考题的多解和推广[J].中学数学研究(江西)，2016，5.

[2]姜晓洁，于兴江.对2015年北京高考数学理科19题的推广探究[J].中学数学研究(江西)，2016,4.

*作者为在读硕士研究生.