导数视角下函数零点问题的多角度探究

筅江苏省镇江中学　陈蓬

导数视角下函数零点问题的多角度探究

筅江苏省镇江中学陈蓬

函数的零点问题不但能充分体现出函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法，而且涉及知识面广，综合性强，对学生的思维能力要求较高，因此函数的零点一直是高考的重点考查内容.本文从三种视角对一道函数零点个数问题进行探究、拓展.

引例已知函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常数.讨论函数f（x）的零点个数.

零点定理与函数零点的存在问题密切相关，定理内容：“若f（x）的图像在［m，n］上是连续曲线，且f（m）f（n）< 0，则在（m，n）内至少有一个零点，即f（x）=0在（m，n）内至少有一个实数解”.这里所说“若f（m）f（n）<0，则在区间（m，n）内方程f（x）=0至少有一个实数解”指出了方程f（x）=0的实数解的存在性，并不能判断具体有多少个解.零点存在性定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数，但可利用：若函数f（x）在区间［m，n］上单调，且f（m）f（n）<0，则方程f（x）=0在区间［m，n］内必有唯一实根来判断函数的零点个数.下面以导数法为视角，探究对此类问题的解答.

一、直接求解

导数是研究函数极值、最值、单调性的有力工具，并结合函数的奇偶性来判断函数的大致图像，进而可研究函数的零点个数.

当a≤0时，f′（x）>0，（fx）在（0，+∞）上单调递增，且≤=-1<0，（fe）=2>0，所以函数（fx）有1个零点.

综上所述，当a>1时，f（x）无零点；当a=1或a≤0时，f（x）有且仅有一个零点；当0

变式1：已知函数f（x）=ex（x2+ax-a），其中a是常数.若存在实数k，使得关于x的方程f（x）=k在［0，+∞）上有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

解析：令f′（x）=ex（x2+（a+2）x）=0，解得x=-（a+2）或x= 0.

当-（a+2）≤0，即a≥-2时，在［0，+∞）上，f′（x）≥0，所以f（x）是［0，+∞）上的增函数.

所以方程f（x）=k在［0，+∞）上不可能有两个不相等的实数根.

当-（a+2）>0，即a<-2时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x0（0，-（a+2））-（a+2）（-（a+2），+∞）f′（x）0-0+ f（x）-a坨a+4 ea+2坻

由上表可知函数f（x）在［0，+∞）上的最小值为f（-（a+2））=

因为函数f（x）在（0，-（a+2））上是减函数，在（-（a+ 2），+∞）上是增函数，且当x≥-a时，有f（x）≥e-a（-a）>-a.

所以要使方程f（x）=k在［0，+∞）上有两个不相等的实数根，则k的取值范围必须是

点评：直接利用导数解决函数的零点个数问题处理方法为：由函数的单调性、奇偶性、极值、最值画出函数的大致图像，结合图像建立含参数的方程（或不等式）组求解.一般来说：若f（x）在其定义域内为单调函数，且满足零点定理，则有1个零点；若f（x）在其定义域内不单调，则需比较极大值或极小值与0的大小关系，再结合零点定理来判断.

二、分离参数

含参函数的零点问题，如果能将参数分离出来，可使不确定的函数转化为确定的函数，进而将问题简洁求解.通过参数分离后，转化为具体的函数求解.

所以若a>1，则（fx）无零点；若（fx）有零点，则a≤1.

若a=1，（fx）=lnx-ax+1=0，易知（fx）有且仅有一个零点x=1.

若a≤0，（fx）=lnx-ax+1单调递增，知（fx）有且仅有一个零点.

综上所述，当a>1时，f（x）无零点；当a=1或a≤0时，f（x）有且仅有一个零点；当0

变式2：已知函数f（x）=ex，x∈R.

（1）若直线y＝kx＋1与f（x）的反函数的图像相切，求实数k的值；

（2）设x>0，讨论曲线y＝f（x）与曲线y=mx2（m>0）公共点的个数.

（2）问题即判断方程ex=mx2（x>0）根的个数，两边取自然对数得x=lnm+2lnx，即lnm=x-2lnx.

设h（x）=x-2lnx（x>0），则h′（x）=1-x>0），所以，当02时，h′（x）> 0，h（x）单调递增.所以h（x）min=h（2）=2-2ln2=ln，且当x→0时，h（x）→+∞；当x→+∞时，h（x）→+∞.

所以当lnm0）没有公共点；

当lnm=ln，即m=时，曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m>0）有一个公共点；

当lnm>ln，即m>时，曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m>0）有两个公共点.

点评：在分离参数的过程中参数如果不能单独分离出来，则可考虑整体进行分离，如变式2，通过将方程两边取对数后，将lnm整体分离出来求解.当a>1时，f（x）无零点；当a=1或a≤0时，f（x）有且仅有一个零点；当0

三、分离函数

通过移项将函数零点问题转化为两函数图像交点问题.转化的方向是化生为熟，即将陌生的函数分解为我们熟悉的基本初等函数，再判断其交点个数.

解法3：判断f（x）零点个数，即方程lnx-ax+1=0根的个数，移项得lnx=ax-1，即将问题转化为函数g（x）=lnx与h（x）=ax-1图像交点个数.

图1　

易知h（x）过定点（0，-1），在同一直角坐标系内画出两函数图像，如图1所示.

由导数的几何意义，易求得，当a=1时，直线h（x）与函数g（x）相切，由图易知，当a>1时，f（x）无零点；当a=1或a≤0时，f（x）有且仅有一个零点；当0

变式3：（2015年全国新课标I）设函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）<0，则a的取值范围是（%）.

解析：设g（x）=e（x2x-1），y=ax-a，由题知存在唯一的整数x0，使得g（x）0在直线y=ax-a的下方.

因为g′（x）=e（x2x+1），所以当x<-时，g′（x）<0，当x>-时，g（′x）>0，所以当x=-时，g（x）max=

如图2，当x=0时，g（0）=-1，g（1）=3e>0，直线y=ax-a恒过点（1，0）且斜率为a，故-a>g（0）=-1，且g（-1）=-3e-1≥ -a-a，解得≤a<1，答案为D.

图2　

点评：对于某些比较复杂的函数不易直接判断零点个数，可通过移项、整理等途径，将复杂函数分离为两个基本函数，进而将问题转化为两个基本函数图像交点问题.本解法通过分离后，判断出直线过定点，从而找到临界的a值，这是问题求解的关键.F