数与式巧思妙解集锦（二）

钱　霞

数与式巧思妙解集锦（二）

钱霞

【解析】本题根据被开方数大于或等于0，得1-y≥0，y≤1，

∴1+x=0，1-y=0，

∴x=-1，y=1，

∴x2011-y2011=（-1）2011-12011=-1-1=-2.

例2已知当x=1时，2ax2+bx的值为3，则当x=2时，ax2+bx的值为_______.

【解析】将x=1代入2ax2+bx=3，得2a+b=3.

此时将2a+b看成一个整体，

当x=2时，ax2+bx=4a+2b=2（2a+b）=2× 3=6.

例3把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止.那么2007，2008，2009，2010这四个数中_______可能是剪出的纸片数.

【解析】本题是一个规律题，第一次剪成4块；第二次剪把其中的一张剪成了4块，所以有3+4=7块；第三次剪又把其中的一张剪成了4块，所以有3×2+4=10块，第四次剪又把其中的一张剪成了4块，所以有3×3+ 4=13块……，由此得总块数是3n+4=3（n+ 1）+1，在2007，2008，2009，2010中只有2008是被3除余数是1的数.

所以答案为2008.

【解析】本题提供两种方法：

方法一（通分）：

分母相同，因为b的分子大，所以b就大.方法二（找规律）：

由此推断a

例5把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.若按图1摆放时，阴影部分的面积为S1，若按图2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1______S2（填“＞”、“＜”或“=”）.

图1

图2

【解析】如图所示，设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b.在图3中，设未被卡片覆盖的部分宽分别为m、n，长为q；在图4中，设未被卡片覆盖的部分宽为m′、n′，长为q′，则m+n=m′+n′=a-b，而q=q′=a-b.

图3

图4

∴在图3中，设未被卡片覆盖的部分（阴影）的面积为S1=（m+n）q=（a-b）2；在图4中，设未被卡片覆盖的部分（阴影）的面积为S2=（m′+n′）q′=（a-b）2.综上所述，可知S1=S2.

例6如图5，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）.

A.（2a2+5a）cm2B.（3a+15）cm2

C.（6a+9）cm2D.（6a+15）cm2

图5

【解析】方法一：不管剪下来的部分怎么拼，拼成的图形面积利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可.矩形的面积为：

（a+4）2-（a+1）2

=（a2+8a+16）-（a2+2a+1）

=a2+8a+16-a2-2a-1

=6a+15.

方法二：求出后拼成的长方形的长和宽.

宽为：a+4-（a+1）=3，

长为：a+4+a+1=2a+5，

面积为：3（2a+5）=6a+15.

所以选D.

若用平方差公式：

（作者单位：江苏省淮安外国语学校）